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Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
und Unstetigen aus, ohne sie zu definiren (I, 1), setzt dann aber stillschweigend 
das Zahlencontinuum und die Stetigkeit der Functionen im Allgemeinen als bekannt 
voraus (II, 2). ,,Die einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit“ ist dadurch unter 
schieden, dass von einem Element (Punkt) aus ein stetiger Fortgang nach zwei 
Seiten möglich ist, vorwärts und rückwärts. Wie man sieht ist dies abstract 
genommen keine gut bestimmte Definition, weil weder Seiten, noch vorwärts 
noch rückwärts und ebensowenig stetig definirt werden. 
Er spricht dann von einem „veränderlichen Stück“ einer Mannigfaltigkeit 
einer Dimension, ohne zu sagen, was er unter „Stück“ einer solchen Mannig 
faltigkeit versteht (I, 3). 
Hätte Riemann seine Begriffe besser bestimmen wollen, ehe er das Zahlen 
continuum (x 1 x 2 ,...x n ) und die Stetigkeit der Functionen annimmt, welche 
er später zur Ermittlung der Massbeziehungen einer Mannigfaltigkeit von n Di 
mensionen benutzt, so hätte er unsrer Ansicht nach die sämmtlichen ersten 
Paragraphen durchaus umändern müssen. x ) Er ist auch an vielen andern Stellen 
seiner Arbeit dunkel. 
Nachdem er die Erzeugung einer Mannigfaltigkeit von n Dimensionen ge 
geben hat, sucht er zu beweisen, dass das Element der Mannigfaltigkeit durch 
n stetige unabhängige Grössen x x , x 2} . . ., x n bestimmt wird und dass umge 
kehrt n Grössen x n ..., x n ein einziges Element der Mannigfaltigkeit bestimmen. 
Er setzt auch stillschweigend voraus, dass der Zusammenhang zwischen den 
Elementen der Mannigfaltigkeit und dem Zahlencontinuum (x lf x 2 , ..., x n ) 
stetig sei, d. h. dass einer unendlich kleinen Aenderung des Elements eine 
unendlich kleine Aenderung des Continuums (x 1} x 2} ... xf) entspricht und 
umgekehrt, wobei er unter unendlich klein das potentiale und nicht das actuelle 
unendlich Kleine verstellt. 
Dies ist im Grund die erste Hypothese, die Riemann einführt. Er erklärt 
ausführlich in Kapitel II, dass wesentliches Kennzeichen einer Mannigfaltigkeit 
von n Dimensionen die Bestimmung des Elements mittelst n Grössen (Coordi 
nateli) sei. G. Cantor bemerkte dagegen, dass dies Kennzeichen nicht genügt, 
weil auch die Stetigkeit des Zusammenhangs zwischen den Elementen der 
Mannigfaltigkeit und den Werthesystemen des Continuums (x } , x 2) ..., xf) 
nöthig ist, weil man, falls diese Stetigkeit nicht gelten sollte, die Bestimmung 
der einzelnen Elemente der Mannigfaltigkeit auf eine einzige reelle und stetige 
Variable oder Coordinate reduciren könnte, derart, dass ohne diese Bedingung 
die Anzahl der unabhängigen rellen und stetigen Coordinateli, welche zur 
alleinigen und vollständigen Bestimmung der Elemente einer Mannigfaltigkeit 
von n Dimensionen dienen, auf eine willkürliche Anzahl von Veränderlichen 
zurückgeführt werden kann.Cantor (Gött. Nadir. 1879, S. 127) und Lüroth 
haben später strenge Beweise geliefert, dass diese Bedingung zur Bestimmung 
der Mannigfaltigkeit auch ausreichend ist. H ) 
1) Siehe unsre Einleitung. 
2) Creile's Journal. Bd. 84, 1878. Franz. Uebers. in den Acta Math. Bd. II. 
3) Mit diesem Gegenstand haben sich auch Jürgens, Thomae und Netto beschäftigt. 
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