646 Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
cipien der Geometrie; wir werden später auf seine darauf bezüglichen Ideen 
eingelien. 
Zu der genannten Arbeit Riemann’s gesellt sich Beltrami’s Abhandlung 
„Sulla teoria degli spazi a curvatura costante“'), welche die erstere vervoll 
ständigt und klarer macht und ihrerseits wieder mit einer andern früheren 1 2 3 ) 
und der berühmten Schrift desselben Autors zusammenhängt, welche wir auf 
dem Titelblatt unsres Buches citirt haben. In der zweiten kommt er zu dem 
sehr bemerkenswerthen Resultat, dass nur die Flächen, welche auf einer Ebene 
derart darstellbar sind, dass jedem Punkt ein Punkt und jeder geodätischen Linie 
eine grade Linie entspricht, Flächen sind, deren Krümmung überall constant ist. 
Wenn diese Krümmung Null ist, so unterscheidet sich das Gesetz des Zusammen 
hangs nicht von der gewöhnlichen Homographie; ist sie nicht Null, so lässt sich 
das Gesetz auf die Centralprojection auf die Kugel und ihre homographischen 
Transformationen zurückführen. Dieser Satz steht in engem Zusammenhang mit 
den Prinipien der ebenen Geometrie, wie Klein gezeigt hat. 8 ) 
In dem Saggio sulla Geometria Non-Euclidea geht Beltrami von einer 
Formel aus, welche das Quadrat des Linienelements einer Fläche darstellt, 
deren Krümmung überall constant und negativ ist und welche er pseudospliä- 
rische Fläche nennt. Er kommt dabei zu dem Hauptergebniss, dass die Geo 
metrie der pseudosphärischen einfach zusammenhängenden Flächen in dem 
EuclitTsehen Raum mit der ebenen Geometrie Lobatschewsky’s identisch ist, 
indem er beweist, dass in einer solchen Geometrie zwei Punkte immer eine 
Grade bestimmen. 4 ) 
Beltrami hat eine Methode angegeben, einen Tlieil der Pseudokugel oder 
besser einen Tlieil der Rotationsfläche, welche den Pseudokugeln zum Typus 
dient, annähernd zu construiren. 5 * * ) 
In der ersten oben citirten Abhandlung dehnt er diese Resultate auf die 
analytischen Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen aus und legt dabei das 
Linienelement unter der Form 
(1) B ydx* + dx*-\ 
cts — 
x 
zu Grund, in welcher die n-j- 1 Variabelen x, x { , x..., x n an die Beziehung 
(2) x~ -j- x^ -j- • • • -f- Xn — a 2 
gebunden sind. Er beweist, dass die Mannigfaltigkeit in dem durch die Glei 
chung (2) mit Ausschluss von x bestimmten Grenzraum unter der Voraus- 
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1) Annali di Mat., Serie II, lid. II, 1S68; franz. Uebers. von Hoücl in den Annales 
de l’Ecole normale sup., 1809. 
2) Risoluzione del problema: Riportare i punti di una superficie sopra un piano in 
modo che le linee geodetiche vengono rappresentate da linee rette. Ann. di Hat., Serie I, 
Bd. VII. 1866. 
3) Ueber die sogenannte nicht-Euclìd'sche Geometrie. Math. Ann. Bd. VI, S. 135. 
4) Er stützt sich dabei auf die analoge Eigenschaft des Euch'd'scheu Systems. V ir 
haben diese Eigenschaft direct und auf rein geometrischem Weg bewiesen (siehe S. 25*2). 
5) Sulla superficie di rotazione che serve di tipo alle superimi pseudosferiche. Giorn. 
di Battaglini, Bd. X, Apr. 187*2. Eine solche Fläche behandelte 1873 auch de Tilly, Bulle 
tin de l’Ac. royale de Belgique. Bd. XXXV. 
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