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Historisch-kritische Untersuchungen über die Principien der Geometrie. 
wird P'" construirt, welches gleichen Abstand von P' und P" hat; der Punkt 
PO) nähert sich dann, wie man sieht, unbegrenzt dem Punkt A 2 . Aehnlicli 
ist es von der entgegengesetzten Seite. 
Zwischen den Abständen beliebiger drei Punkte A, B, C lässt er die fol 
gende Beziehung gelten, welche ebenfalls ein Axiom ist: 
Abst. (AB) + Abst. (BC) = Abst. (AG). 
Wenn die Gleichung des Absoluten durch eine Form zweiten Grades ge 
geben ist: 
a x 2 = («i#! + a 2 x.¡f — 0, (a ik — a ki = a¡a k = a k a¡), 
so erhält man aus der Relation der harmonischen Paare die Bedingung des 
gleichen Abstandes und man findet mithin mit Hülfe der obigen Beziehung 
den Ausdruck für den Abstand zweier Punkte z¡ und y¡ unter der Form 
a y a * 
arc cos . 
vV«.- 
Li der Ebene hat man als Absolutes einen Kegelschnitt, welcher das Ab 
solute auf jeder Graden bestimmt. Das Absolute in der Umgebung eines jeden 
Punktes ist dagegen durch die beiden Tangenten gegeben, welche sich von dem 
Punkt aus an die conische Linie ziehen lassen. Er nimmt den Quadrant also 
^ als Masseinheit in allen diesen Systemen an. Für diese Masseiuheit sind die 
beiden Punkte auf einer Graden bezüglich des Absoluten harmonisch. So ist 
der Abstand zweier Punkte dem Abstand ihrer Polaren bezüglich des Absoluten 
gleich und umgekehrt und der Abstand eines Punktes von einer Graden wird 
mithin als das Complement des Abstandes der Polaren des Punktes von der 
gegebenen Graden definirt. Daraus folgt, dass der Abstand des Pols von seiner 
Polaren der Quadrant ist. Ein in das Absolute eingeschriebener Kegelschnitt, 
welcher nämlich das Absolute in zwei Punkten berührt, heisst Kreis. Sein 
Centrum ist der Durchschnittspunkt der beiden Tangenten und seine Axe die 
Grade, welche die beiden Berührungspunkte verbindet. Alle Punkte des Kreises 
haben gleichen Abstand vom Centrum und alle Tangenten von der Axe und 
der erstere Abstand ist zu dem zweiten complementar. Der Ausdruck für den 
Abstand zweier beliebiger Punkte der Ebene hat eine ähnliche Form wie der 
jenige auf der Graden. Man findet leicht die Ausdrücke für den Abstand zweier 
Graden und eines Punktes von einer Graden. 
Cayley betrachtet dann den Fall, dass das Absolute auf der Graden sich 
aut einen Punkt und in der Ebene auf zwei Punkte reducirt. Man erhält in 
diesem Fall den Ausdruck für den Abstand im Euclid'sehen System, wenn man 
voraussetzt, das Absolute liege im Unendlichgrossen. Von einem solchen Ge 
sichtspunkt aus sind die Masseigenschaften einer Figur nicht Eigenschaften der 
Figur an sich betrachtet, sondern in Verbindung mit einer andern Figur nämlich 
dem Absoluten. Bezüglich der Frage der Principien der Geometrie wird einer 
seits nicht dargethan, wie der Punkt in der Ebene durch drei homogene Co- 
ordinaten bestimmt wird und die einfachen Theile eines solchen Princips nicht