§ 42] Eindeutiger Zusammenhang in derselben Reihenfolge zwischen verschied. Gruppen. 25 
Beisp. 1. So besteht zwischen den Formen und ihren Zeichen ein eindeutiger Zusammen 
hang, wenn jedem Zeichen ein Ding entspricht und einem Ding ein Zeichen (§ 5). 
Bern. II. Wenn die Gruppen (A) und (B) geordnet sind und sich eindeutig in der 
Art entsprechen, dass 
1) entsprechende Elemente zwischen entsprechenden Elementen enthalten • sind und 
man, wenn die Gruppen begrenzt sind, das erste Element als zwischen dem letzten und 
dem zweiten und das letzte als zwischen dem ersten und dem dem letzten consecutiv voran 
gehenden (§ 24) (dem vorletzten) Element liegend ansieht und 
2) dass den Elementen, welche einem gegebenen Element vorausgehen, Elemente 
entsprechen, welche dem dem gegebenen entsprechenden Element vorausgehen, 
so ist es gerechtfertigt zu sagen, clie Gruppen (A) und (B) entsprächen sich in derselben 
Reihenfolge. In der That ist die relative Stellung der entsprechenden Elemente in den 
Gruppen nach der Definition in § 21 (§§ 14, 16, Def. VII, § 8) dieselbe.') 
Bef. III. Von den Gruppen (Ä) und (B), die den Bedingungen der vor 
stehenden Bern, genügen, sagt man, sie entsprächen sich eindeutig und in der 
selben Reihenfolge. 
Wenn nur- die erste Bedingung der Bemerkung II und nicht die zweite 
erfüllt ist, so sagt man, (Ä) und (B) entsprächen sich eindeutig in umgekehrter 
Ordnung. 
Beisp. 2. Eine Reihe von Dingen und die Reihe der entsprechenden Begriffe (§ 4) 
entsprechen sich eindeutig und in derselben Ordnung. * 
Beisp. 3. Wenn man in den gegebenen Gruppen AB CDE, A' B' C' D’ E' sich G' 
und A, D' und B, E’ und C, A' und D, B' und E entsprechen lässt und umgekehrt, so 
entsprechen sich die Gruppen eindeutig und in derselben Ordnung. 
Beisp. 4. Wenn sich dagegen im vorigen Fall A und B', B und D', C und A', D 
und E’, E und C' entsprechen, so entsprechen sich die Gruppen eindeutig aber nicht in 
derselben Ordnung. 
a. In geordneten Gruppen (A) und (B), die sich eindeutig und in derselben 
oder der umgekehrten Ordnung entsprechen, entsprechen consecutiven Elementen in 
der einen consecutive Elemente in der andern. 
Und umgekehrt: Wenn sich die consecutiven Elemente eindeutig entsprechen, 
so entsprechen sich die Gruppen eindeutig und in derselben oder der umgekehrten 
Ordnung. 
Denn wenn den beliebigen consecutiven Elementen AE der einen (Def. VIII, 
§ 13) 1 2 ) nicht consecutive Elemente der andern entsprächen, so würde das Element 
X, welches einem zwischen den Elementen Ä und B' (§§ 23 und 24) liegen 
den Element X' entspricht, nach der Voraussetzung nicht zwischen A und B 
enthalten sein und die Gruppen entsprächen sich nicht in derselben oder in 
umgekehrter Ordnung (Def. III und Bern. II). 
Wenn sich ferner die consecutiven Elemente eindeutig entsprechen, so 
entspricht jedem zwischen den beliebigen Elementen A und B in der ersten 
Gruppe liegenden Element X ein zwischen den entsprechenden Elementen A' 
und B' liegendes Element X' und damit ist auch die umgekehrte Eigenschaft 
bewiesen (Def. III und Bern. II). 
1) Siehe die Anm. zu § 9. 
2) Diese Definition gilt sowohl für die Reihe, wie für die geordnete Gruppe.