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§§ 42. 43] Eindeut. Zusammenhang in derselb. Reihenfolge zwischen verschied. Gruppen. 27 
(J.') der (T') an (c). (T') ist desslialb aus consecutiven Elementen von (Ä') 
gebildet und mithin eine Untergruppe von (A') (Def. II, § 27). 
e. Man kann Gruppen, die eindeutig einer andern Gruppe entsprechen, sich 
eindeutig einander entsprechen lassen. 
(A), (A') seien die Gruppen, die der Gruppe (A") eindeutig entsprechen. 
Jedem Element X. der ersten entspricht ein Element X" in der dritten und 
diesem Element X" entspricht ein Element X’ der zweiten. Auf diese Weise 
mittelst der dritten Gruppe (A") sieht man, dass das Element X dem Element 
X' und umgekehrt dem Element X' das Element X entspricht. Denn X und 
X" können, wenn der Begriff des eindeutigen Zusammenhangs allein in Betracht 
gezogen wird, als einander gleich angesehen werden, da ihre Verschiedenheit 
nicht in Betracht kommt, ebenso X' und X" und daher auch X und X (e, § 8), 
während andre sich entsprechende Elemente Y, Y', Y" als X, X', X" nicht 
gleich angesehen werden können, da sie bezüglich von ihnen verschieden sind 
(Def. I, § 13; Def. V, § 8; Bern. III, § 9). 
f. Geordnete Gruppen, die eindeutig und in derselben Ordnung einer andern 
Gruppe entsprechen, entsprechen einander eindeutig und in derselben Ordnung. 
Der Beweis wird dem vorigen analog unter Berücksichtigung der Def. III 
geführt. 
Bern. Bei dem eindeutigen Zusammenhang in derselben oder in umgekehrter Ordnung 
können wir der geordneten Gruppe ihre Reihe und umgekehrt substituiren, weil hei diesem 
Zusammenhang dasjenige, was die Gruppe von der Reihe unterscheidet, nicht in Betracht 
kommt (Bern., § 28). 
§ 43. a. Jede geordnete natürliche Gruppe kann man eindeutig und in derselben 
Ordnung einer einzigen Untergruppe einer beliebigen geordneten unbegrenzten Gruppe 
der ersten Art entsprechen lassen, indem man dem ersten Element der ersten ein 
beliebiges gegebenes Element der zweiten entsprechen lässt. 
Denn es sei (A) = AB CD ... M die geordnete natürliche Gruppe (§ 35) 
und (A') =r~ A'B' CD r ... M' N'... die geordnete unbegrenzte Gruppe der ersten 
Art. Wir können dem ersten, zweiten, dritten, . . . Element von (A) das erste, 
zweite, dritte, . . . Element von (A f ) entsprechen lassen; das heisst, dem con 
secutiven auf ein beliebiges Element X von (A) folgenden Element können wir 
das consecutive auf das entsprechende Element X folgende Element entsprechen 
lassen. Wenn bei diesem Zusammenhang dem letzten Element M von (A) ein 
bestimmtes Element M' von (A') entspricht, so ist der Satz bewiesen, weil 
bei gegebenem M' die Gruppe A'B' C'E'... M' eine begrenzte Gruppe und 
desshalb von der ersten Art ist (Def. III, § 39). Wenn dagegen dem AI kein 
gegebenes Element von (A') entspricht, so muss es doch ein letztes Element 
X von (J.) geben, dem ein bestimmtes Element X' von (A r ) entspricht; denn 
X ist mindestens A, dem A' entspricht. Aber in (A') hat X' ein consecutives 
auf es folgendes Element (§ 24), da die Gruppe (A') unbegrenzt von der ersten 
Art ist (Def. III, § 39), und diesem Element entspricht das consecutive auf X 
folgende Element in (A), welches nach der Voraussetzung zwischen X und M 
liegt. X kann daher nicht das letzte Element von (A) sein, dem ein bestimmtes