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§§ 43. 44] Eindeut. Zusammenhang in derselb. Reihenfolge zwischen verschied. Gruppen. 29 
hat (Bern. II, § 42), so muss dem A das consecutive auf M' folgende Element 
entsprechen. Wenn aber (A r ) kein letztes Element (§ 22) hat, so ist das eon- 
secutive auf M' folgende nicht A' und desshalb würde dem A kein einziges 
Element von (A') entsprechen, was gegen die Annahme ist (Def. III, § 42). Der 
selbe Fall würde eintreten, wenn (A r ) kein erstes und ein letztes z. B. M' hätte; 
den Elementen, die A' in (A') vorangehen (§ 21), entsprächen keine Elemente 
von (Ä) und viel mehr noch wenn (A') kein erstes und kein letztes Element 
hätte. Dies widerspricht der Voraussetzung (Def. III, § 42). Wenn also dem 
Element B in (A) das consecutive auf A! folgende Element B' in (A') ent 
spricht, so ist die Gruppe (A’) begrenzt (Def. I, § 32; Bern., § 28). 
Wenn dagegen dem Element B das consecutive dem A' in (A') voraus 
gehende Element entspricht (§ 24), so reicht es hin, die umgekehrte Gruppe 
zu betrachten (Def. I, § 33; Def. I, § 26). Man beweist auf dieselbe Art, dass 
sie begrenzt ist, und daher ist es auch (A') (b, § 33). 
Wenn (A) unbegrenzt ist, so kann (A‘) nicht begrenzt sein, weil es sonst 
auch (A) wäre. Der Satz ist somit für jeden Fall bewiesen. 
c'. Jede geordnete Gruppe (Al), die eindeutig in derselben oder der umge 
kehrten Ordnung ■einer natürlichen Gruppe (A'j entspricht, ist eine natürliche 
Gruppe. 
Denn jede Untergruppe von (A) entspricht einer Untergruppe von (A') 
(d, § 42), die begrenzt ist und keine unbegrenzte Untergruppe enthält (Def., 
§ 35 und Bern., § 42). Jede Untergruppe von (A) ist daher begrenzt und 
enthält keine unbegrenzte Untergruppe (c), woraus c' folgt (Def., § 35 und 
Bern., § 42). 
c". Jede geordnete Gruppe (A), ivelche ein erstes Element hat und eindeutig 
und in derselben Ordnung einer unbegrenzten Gruppe (A') der ersten Art ent 
spricht, ist unbegrenzt von der ersten Art. 
Denn jede begrenzte Untergruppe von (A) ist eine begrenzte Gruppe der 
ersten Art (d, § 42; c und c'); jede begrenzte Untergruppe von (A) mit dem 
ersten Element in dem ersten Element von (M.) ist daher begrenzt von der 
ersten Art, womit der Satz bewiesen ist (Def. III, § 39). 
§ 44. Bef. L Wenn die Elemente einer Gruppe den Elementen derselben 
Gruppe entsprechen, so sagt man, die Gruppe werde in sich selbst transformirt 
und die Transformation sei eindeutig, wenn jedem Element der Gruppe ein und 
nur ein Element derselben Gruppe und diesem das erstere Element und dieses 
allein entspricht. 
Man sagt, die Transformation sei eindeutig und in derselben Ordnung, wenn 
die Gruppe geordnet ist und die entsprechenden Elemente zwischen entsprechenden 
Elementen enthalten sind und jedem Element X, das einem beliebigen Element 
Y vorausgeht, ein Element X' entspricht, das dem entsprechenden Element Y' 
vorausgeht. 
Bef. II. Der einfachste Fall einer eindeutigen Transformation ist der 
jenige, in -welchem jedes Element der Gruppe sich selbst entspricht- In einem