gQ Erster Begriff der Zahl. [§ 4h 
solchen Fall heisst die Transformation Zusammenhang oder Transformation der 
Coincidenz. 
Bern. Bei dem hier besprochenen Zusammenhang kommt offenbar die Alt, wie die 
Elemente der entsprechenden Gruppen gegeben sind, nicht in Betracht (Bern. I, § 3g). 
III. Kapitel. 
Die Zahl in ihrer ersten Bildung. — Natürliche Zahlen. 
1. 
Erster Begriff der Zahl. 
§ 45. Bef. I. Einheit heisst ein beliebiges gegebenes (§ 6) Ding X, 
wenn man in Betracht zieht, dass es ein und nicht mehreie Dm^e ist (§ -, 
Bern. § 8), und von seinen übrigen Merkmalen abstrahirt (§ 9, § 7). 
a. Verschiedene Binge als Einheiten betrachtet sind gleich. 
Sie werden in der That nur in Bezug auf das Merkmal Eines betrachtet 
(Def. I; Bern. III, § 9); daher ist der Begriff Eines des einen der Begriff Eines 
des andern, woraus a folgt (Def. VI, § 8). 
Bef. II. Wenn eine beliebige geordnete Gruppe von Gegenständen 
ABCBE... (§ 26; b, § 37) gegeben ist und man jeden dieser Gegenstände 
als Einheit (Def. I) betrachtet und von der Art, in welcher sie gegeben sind, 
aber nicht von ihrer Ordnung absieht (§ 7; Def. I, § 38), so dass verschiedene 
Gegenstände verschiedene Einheiten liefern, so heisst die geordnete Gruppe von 
Einheiten, die sich so ergiebt, Anzahl oder Zahl der gegebenen Gruppe. 1 ) 
b. Die Elemente der geordneten (Truppe (A) und die Einheiten der Zahl, 
welche aus ihr entsteht, entsprechen sich eindeutig und in derselben Ordnung. 
Die Elemente der Gruppe und die Einheiten der Zahl entsprechen sich 
eindeutig, weil jedem Element A der Gruppe eine einzige Einheit der Zahl 
entspricht und dieser Einheit ebenso das einzige Element A entspricht, da sie 
durch dieses einzige Element der Gruppe gegeben ist (Def) II). Ueberdiess 
entspricht einem Element C, welches auf A folgt und B vorausgeht, eine Ein 
heit, welche der A entsprechenden Einheit folgt und der B entsprechenden 
vorausgeht (Def. II; Def. III, § 42). 
1) Dies bedeutet nicht, dass jede Form, die wir Zahl nennen werden, sich auf diese 
Weise ableiten lassen muss (siehe Anmerkung zu § 4), und heisst auch nicht, dass wir uns 
auf ganze, endliche Zahlen beschränken (siehe 2 und 3, VI. Kap.). Wählt man die folgende 
Definition: „Man sagt, die beliebigen geordneten Gruppen (A) und (B) hätten dieselbe Zahl, 
wenn man sie sich eindeutig und in derselben Ordnung (Def. II, § 42) entsprechen lassen 
kann“, als Definition der Zahl, so stösst man auf den schon früher bemerkten Uebelstand, 
dass man den Begriff der Identität (Def. YI, § 8) einführt, ohne zu wissen, ob er in diesem 
Fall anwendbar ist. Das liesse sich zwar leicht rechtfertigen, man würde aber so die Zahl 
als eine Art einführen, den Begriff des eindeutigen und in derselben Ordnung stattfindenden 
Zusammenhanges sprachlich auszudrücken, und dieses ist noch nicht der von uns definirte 
Begriff der Zahl (Def. II, § 42; Def. II, Bern, I). Es ist ferner klar, dass bei unserer Ab 
leitung die ganze Zahl im Allgemeinen und im Besondern die natürliche (§ 46) aus den 
Operationen und den bestimmten und allgemeinen Begriffen des I. Kap. hervorgeht.