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§§. 45. 46] Erster Begriff der Zahl. — Operation des Zählens. 31 
b'. Den Untergruppen einer geordneten Gruppe entsprechen Zahlen, die Theile 
der der Gruppe entsprechenden Zahl sind (Def. II; d, § 42; Def. II, ■§ 25). 
Bern. I. Die Einheit ist Theil aller Zahlen (V; Def. I) und ist die einer Gruppe mit 
einem einzigen Element entsprechende Zahl (Def. III, § 13; §§ 19 und 26). 
c. Zahlen, deren Einheiten sich eindeutig und in derselben Ordnung ent 
sprechen und von denen die eine nicht ein Theil der andern oder einem Theil der 
andern gleich ist, sind gleich. 
Wenn (Ä) und (D) gegebene geordnete Gruppen yon Elementen sind und 
(A') und (B') ihre geistigen Darstellungen (§ 4), so entsprechen sich (M) und 
(Ä') t (jB) und (2?') eindeutig und in derselben Ordnung (Beisp. 2, § 42). 
Wenn man nur diesen Zusammenhang als Merkmal der Vergleichung zwischen 
den Gruppen (A) und (D) (Def. I, § 9) in Betracht zieht und wenn die 
Gruppen (Ä) und (JB) sich eindeutig und in derselben Ordnung entsprechen, 
so entsprechen sie (Ah) eindeutig und in derselben Ordnung und sind daher in 
Bezug auf das genannte Merkmal gleich (Def. I, § 9)- 
Wenn man aber auch, wie es im Allgemeinen geschehen muss (Def. I, 38), 
die Verschiedenheit der Elemente in Betracht zieht, sowohl die Verschiedenheit 
der Art der Position der Elemente unter sich, als diejenige, welche sich daraus 
ergibt, dass eine Gruppe ein Theil der andern oder einem Theil der andern 
gleich ist (Def. II, § 27), alsdann sind die Gruppen (Ä) und (JB) im Allgemeinen 
bei nur eindeutigem und in derselben Ordnung stattfindendem Zusammenhang 
nicht mehr gleich. In den Zahlen von (M.) und (JB), als gegebene Gruppen 
von Einheiten (Def. I und Def. II) betrachtet, sind die Elemente gleich (a) 
und die Art der Position der Elemente unter sich (Def. II) ist ausgeschlossen, 
während das dritte Merkmal des Vergleichens nicht ausgeschlossen ist. Ist 
diese letztere Verschiedenheit nicht vorhanden und findet der Zusammenhang 
eindeutig und in derselben Ordnung statt, wie unser Satz annimmt, so sind 
die Zahlen von (A) und- (JB) gleich (Def. III, § 9). 
Bern. II. Wenn man dagegen die Zahl nur von dem eindeutigen und in derselben 
Ordnung stattfindenden oder auch nur von dem eindeutigen Zusammenhang abhängen 
lässt, so sind die Zahlen von {Ä) und (B) gleich, wenn im ersten Fall eindeutiger Zu 
sammenhang in derselben Ordnung, im zweiten Fall nur eindeutiger Zusammenhang statt 
findet. 
2. 
Operation des Zählens. — Natürliche Gruppen und Zahlen. — Addition. 
§ 46. Def. I. Die Operation, mittelst welcher die Zahl einer geordneten 
Gruppe bestimmt wird (Def. II, § 45), heisst die Operation des Zählens. 
Def. 11. Den geordneten natürlichen Gruppen (§ 35; Bern., § 28) ent 
sprechen Zahlen, die wir natürliche Zahlen nennen (Def. II, § 45). 
Bern. I. Die Zahl in ihrer ersten Bildung oder die natürliche Zahl ist die successive 
Wiederholung mehrerer Einheiten, die man durch die einfache begrenzte Wiederholung der 
Einheit erhält (Def. I; Bern., § 35 und Def., § 15). 
a. Jeder Theil einer natürlichen Zahl ist ebenfalls eine natürliche Zahl 
(f, § 39 und Def. II).