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[§§ 46. 47 
Natürliche Gruppen und Zahlen. — Addition. 
b. Die natürlichen Zahlen kann man eindeutig und in derselben Ordnung 
den Untergruppen einer geordneten unbegrenzten Gruppe der ersten Ar t, mit welcher 
sie das erste Element gemeinschaftlich haben, entsprechen lassen. 
Es sei (A) die natürliche einer gegebenen Zahl entsprechende Gruppe 
und (jB) die geordnete unbegrenzte Gruppe der ersten Art. Der Gruppe (Ä) 
kann man eindeutig und in derselben Ordnung eine Untergruppe (A ) \on (B) 
mit demselben ersten Element (a, § 43) entsprechen lassen und folglich kann 
man die Einheiten der Zahl eindeutig und in derselben Ordnung der Gruppe 
(AZ) entsprechen lassen (f, § 42 und Def. III, § 39). 
c. Alle natürlichen Zahlen bilden auf die im Satz b angegebene 11 eise eine 
unbegrenzte Reihe der ersten Art. 
Dies folgt unmittelbar aus Def. II, und i, § 39. 
Def. III. Wir nennen diese Reihe, dem allgemeinen Gebrauch folgend, 
die natürliche Reihe der natürlichen Zahlen und bezeichnen sie mit (I). 
c. Jede natürliche Zahl erhält man durch die einfache successive be 
grenzte Vereinigung der Einheit mit einer in der Reihe (i) vorhergehenden Zahl') 
(c; Def. II, h, g, 39). 
§ 47. a. Die Operation des Vereinigem der Einheit (und daher der succes- 
siven Vereinigung der Einheiten einer Zahl) oder einer Zahl mit der Einheit oder 
einer Zahl, ist eindeutig. 
Die einfache Vereinigung ist eine eindeutige Operation (I, § 29 5 Def. II, § 11). 
Die daraus bervorgehende geordnete Gruppe von Einheiten kann von der Ord 
nung und von der Art, wie ihre Elemente gegeben sind, abhängen (Def. I, § 38). 
Die Ordnung aber ist in solchem Pall schon festgestellt, weil man z. B. mit 
dem Ganzen (A R CD) das Element E vereinigt, und die Zahl hängt nicht von 
der Art ab, wie die Elemente der ihr entsprechenden Gruppe gegeben sind 
(Def. II, § 45), womit der Satz bewiesen ist. 
Def. I. Die Vereinigung einer Zahl mit einer andern Zahl (Def. II, § 45 
und Def. I, § 26) heisst Addition und das Resultat Summe der zweiten und ersten 
Zahl. Die gegebenen Zahlen heissen Summanden. 
Bez. I. Für diese Operation gebrauchen wir das Zeichen + • 
Bern. I. (Wenn (A) und (B) die Zahlen a und b darstellen, so stellt die geordnete 
Gruppe [(A) (B)J die Summe a-\-b dar (Bez. § 27). 
Bez. II. Wir bezeichnen die Einheit mit dem Zeichen 1. 
1) Unsre geordnete unbegrenzte beliebige Reihe, welche ein erstes Element hat (§ 26) 
und in welcher jedes gegebene Element ein einziges consecutives auf es folgendes " und 
ihm vorangehendes (§ 24) hat, genügt den ersten 8 von den 9 Eigenschaften, die Peano in 
seinen Arith. Principia (1889) als Cliaracteristicum des Zeichens N (Zahl) gibt, Einige von 
ihnen sind freilich allgemeine logische Eigenschaften, wie a = a ; wenn a = b, folgt ö = «; 
wenn a = b, b = c, folgt a = c, welche den Eigenschaften I, Def. VI, d, e in § 8 entsprechen! 
Die Eigenschaft 5 (§ 1) Peano’s sagt, dass die Gleichheit nur bezüglich des Begriffs der Zahi 
statt hat (siehe Bern. IV, § 47). Die Eigenschaft 9 (§ 1) gibt genau unsre Eigenschaft 1 in § 39 
wieder. Als weitere charakteristische Eigenschaft der unbegrenzten geordneten Gruppe, 
welche ein erstes Element hat, haben wir dagegen die Definition der Reihe und damit der 
unbegrenzten Gruppe erster Art (siehe Anmerk, zu §§39 und 50).