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§ 47] Operation des Zählens. — Natürliche Gruppen und Zahlen. — Addition. 
JBez. III. Die erste Zahl nach der Einheit erhält man durch die Vereini 
gung der wiederholten Einheit mit der Einheit, das heisst: 
1 + 1. 
Wir belegen sie mit dem Zeichen 2 (zwei); es ist also 
1 + 1 = 2. (b, § 9) 
Die erste Zahl nach 2 ist 2+1, die wir mit 3 (drei) bezeichnen, so dass also 
2 + 1 == 3. 
So ist die erste Zahl nach drei 3+1., die das Zeichen 4 (vier) erhält, 
so dass 
3 + 1 = 4 
und so weiter. Ist im Allgemeinen eine mit m bezeichnete Zahl gegeben, so 
bezeichnet man die folgende Zahl der Reihe (J) mit m + 1. 
Die aus der begrenzten Wiederholung der Einheit abgeleiteten Zahlen, 
welche in der Ordnung der Reihe (I) aufeinander folgen, werden, wie folgt, 
bezeichnet 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 20, 21 ... 100 ... 101 ... 200 ... (1) 
und heissen nacheinander eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, 
zehn, eilf . . . zwanzig, einundzwanzig . . . hundert, hundertundeins . . . zwei 
hundert . . . J ) 
Bef. II. Die Ziffern, die zur Bezeichnung der Zahlen dienen, heissen auch 
Zahlen. 
♦ 
Бет. II. Die Punkte in (1) stehen an Stelle der andern Zahlen der Reihe. 
Bern. III. Man gebraucht auch Buchstaben z. В. а, h, u. s. w., um die Zahlen der 
Reihe (I) anzugeben; während aber z. B. 9 eine an einer bestimmten Stelle der Reihe (1) 
stehende Zahl bedeutet, bezeichnet a eine beliebige Zahl (Def. VIII, § 13; § 19) derselben. 
a wird ebenfalls eine Zahl genannt. 
Wenn man jedoch sagt, eine Zahl a von (/) sei gegeben, so versteht man im Allge 
meinen darunter eine beliebige Zahl von (J) (Def. VIII, § 13; § 19), welche aber bei jeder 
Operation dieselbe Zahl von (I) darstellt. 
b. Wenn a und b dieselbe Zahl von. (i) dar stellen, so sind a und b, als 
zwei Zahlen betrachtet, einander gleich. 
Denn man kann die eine der andern substituiren, wir schreiben also: 
a = b woraus b = a. (b, § 9; d, § 8) 
Bern. IV. Für die Zahlen allein reicht das Zeichen = aus, da man keine andre 
Gleichheit zwischen ihnen in Betracht zieht (Bern I, § 9). 1 2 ) 
1) Wir hätten hier, wenn wir die bisher ausgeschlossenen Begriffe zwei, drei, u. s. w. 
nicht nöthig gehabt hätten und wenn es nicht von Vortheil wäre, sie von nun an im Text 
zu verwenden, die Frage über das System des Zählens offen lassen können. Bei einer voll 
ständigen Abhandlung der Theorie der ganzen Zahlen, hätte dieser Punkt ausführlicher 
behandelt werden müssen, während andre von den vorstehenden Betrachtungen, die sich 
mit dieser Theorie ausschliesslich beschäftigen, hätten ausgelassen oder vereinfacht werden 
können. 
2) Diese verschiedene Bezeichnung einer und derselben Zahl kommt bei den nume 
rischen Operationen häufig vor, wenn man vor oder während einer Operation eine Zahl 
betrachtet, die zwar der Reihe (J) angehört und immer dieselbe bleibt, aber unbestimmt 
ist. Wenn dann noch eine andre unbestimmte Zahl auftritt, so kann es so kommen, dass 
Veronese, Geometrie. 3