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Operation des Zählens. — Natürliche Gruppen und Zahlen. — Addition. [§ 47 
c. Zwei Zahlen, die einer dritten gleich sind, sind einander gleich. 
Dass lieisst, wenn a = b, b = c so ist a = c. 
Sind a, b, c Bezeichnungen einer und derselben Gruppe von Einheiten, so 
ist diese Eigenschaft eine Folge von b, § 9. Sind dagegen a, b, c verschiedene 
Gruppen von Einheiten, alsdann folgt die Eigenschaft aus dem Satz e, § 8. 
Bern. V. Wenn der eindeutige und in derselben Ordnung stattfindende Zusammen 
hang allein für die Gleichheit der Zahlen a und b genügte (Bern. II, § 45), so würden sich 
im zweiten Fall b und c eindeutig und in derselben Ordnung entsprechen und daher auch 
a und c (f, § 42) und daraus würde folgen a = c. 
Ebenso ist es, wenn der eindeutige Zusammenhang allein ausreichen sollte (Bern. II, § 45). 
d. Wenn a = a, b = b', so ist a + b = a + b' = a -f- b = a + b'. 
Oder auch." "Wenn man zu gleichen Zahlen gleiche Zahlen addirt, so erhält 
man gleiche Zahlen. 
Denn es! seien {£) und (A'), (JB) und (iE) die den Zahlen a und a, 
b und b' entsprechenden Gruppen. Die Gruppe, die man aus der Vereinigung 
der Gruppe (BJ mit der Gruppe (Ä) erhält, das ist [(Ä) (B)], stellt die An 
zahl a + b (Bern. I) dar; die Gruppe [(A') (B')] stellt die Anzahl a + V dar. 
Weil aber a = a , b = b’, so ist a -f b = a + b', da die Addition eindeutig 
ist (a) und andrerseits die Verschiedenheit der Position zwischen den Ein 
heiten der Zahlen und daher der Gruppen nicht in Betracht gezogen wird 
(Def. El, § 45 und § 41). 
Bern. VI. Wenn der eindeutige und in derselben Ordnung stattfindende Zusammen 
hang für die Gleichheit der Zahlen genügt (Bern. II, § 45), so entsprechen sich die Gruppen 
a und d, b und b' eindeutig und in derselben Ordnung und folglich auch die Gruppen 
a -j- d, b -f- 5', weil sie keine Elemente enthalten, die nicht in a und d, b und b' ent 
halten sind (II, § 29). Es ist desshalb auch in diesem Fall a -f- d — 
Aehnlich ist es, wenn der eindeutige Zusammenhang allein genügt (Bern. II, § 45). 
Def. III. Die Elemente einer geordneten natürlichen Gruppe, welche der 
Zahl n entspricht, entsprechen successiv den Zahlen 1, 2, ..., n — 1, n der 
der Reihe (1) (a, § 43; i, § 39; c, § 46; b, § 43). Das letzte Element nennen 
wir daher das n tu Element der Gruppe. 
Def. IV. Eine Operation (oder eine Zahl) bmal wiederholen, bedeutet, 
dass, wenn man jede Wiederholung (§ 15) als einen die Einheit darstellenden 
Gegenstand betrachtet, die aus diesen Wiederholungen hervorgehende Zahl 
b ist. * 1 ) 
man für die eine, wie für die andre, nach der Ausführung der Operationen dieselbe Zahl 
von (1) findet. So ist es z. B. auch bei den indirecten Beweisen, wenn man dadurch, dass 
man annimmt, die Resultate zweier numerischer Operationen stellten nicht dieselbe Zahl 
von (i) dar und sie desshalb während des Beweises mit verschiedenen Zeichen versieht, 
beweisen will, dass diese Resultate gleich sind. 
1) Dies beweist, dass die Bemerkung G. Cantor’s (Zeitschrift für Philosophie von 
Fichte Bd. 91. Seite 252): „Die Addition von Einsen kann nicht zur Definition der Zahl 
benutzt werden, weil man nicht, sagen kann, wie oft sie addirt werden müssen ohne die 
Zahl selbst, die man definiren will“, mindestens unklar ist. Nach unsrer Definit. 11, § 45 
erhält man die Zahl im Allgemeinen als eine geordnete Gruppe aus der Operation der suc- 
cessiven Vereinigung eines Gegenstandes mit dem andern, ohne dass man sagen muss, wie 
oft diese Operation zu wiederholen ist. Wenn es sich dann um eine bestimmte Zahl han 
delt, so kann man diese aus der Addition der Einheit erhalten. Die Zahl 2 erhält man, 
indem man die Einheit einmal wiederholt, die Zahl 8, indem man die Einheit jjtüeimal