48 
determinato matematicamente dai suoi punti, siamo indotti ad ammettere che 
fra due punti anche indeterminati, per quanto vicini essi siano, esista sempre 
almeno un altro punto distinto dagli estremi (def. V, 8). A questa ipotesi siamo 
condotti inoltre dall’osservazione che dato un punto X sull’oggetto rettilineo 
si guò immaginare una parte di esso (AB) che contenga X e tale che A e tì si 
avvicinino sempre più a X senza mai coincidere con X, e che quindi si possono 
immaginare delle parti cogli estremi indeterminati quanto piccole si crede che 
contengano almeno un altro punto X oltre agli estremi. 
Finalmente riceviamo l’impressione che nell’oggetto rettilineo (flg. 1, a) 
intorno ad un suo punto B vi sono due parti (BA) e (BC) tali che considerata 
la prima da B verso A e la seconda da B verso C esse sono identiche, e che 
la parte (AB) percorsa de B verso A è identica alla stessa parte percorsa da 
A verso B (def. Ili, 9). 
Tutti questi contrassegni dell’oggetto rettilineo si possono essi stabilire 
astrattamente senza bisogno di ricorrere alla intuizione? Se sì, sono essi suf 
ficienti per distinguere il continuo come forma astratta da altre forme possi 
bili? Oppure alcuni di essi non sono conseguenza necessaria degli altri seb 
bene evidenti? 
Ecco le questioni che dobbiamo risolvere in questa introduzione ; e noi 
vedremo che i contrassegni suindicati sono sovrabbondanti J ). 
I) Ad es. G. cantor, Dedekind nei loro pregevoiissimi lavori dicono che è arbitraria la corri 
spondenza univoca a partire da un punto delia retta frai punti delia retta stessa e i numeri reali che 
costituiscono il continuo numerico ottenuto mediante una serie di definizioni astratte di segni, per 
quanto possibili arbitrarie sempre. A Dedekind sembra anche (1, c. pag. XII-XIII) che dati tre punti 
A, B, C non in linea retta in modo che i rapporti delle loro distanze siano numeri algebrici, i rap 
porti delle loro distanze dai punti dello spazio dai tre punti alla distanza AB possano essere soltanto 
numeri algebrici — di modo che lo spazio a tre dimensioni e quindi anche la retta sarebbero discon 
tinui. Secondo Dedekind per chiarire anzi la rappresentazione dei continuo dello spazio occorre il 
continuo numerico (1. c.) Secondo me invece è il continuo intuitivo rettilineo mediante l’idea di punto 
senza parti rispetto al continuo stesso che serve a darci le definizioni astratte del continuo, di cui 
quello numerico non é che un caso particolare. In questo modo le definizioni non appariscono come 
uno sforzo delia mente nostra, ma trovano la loro piena giustificazione nella rappresentazione sen 
sibile dei continuo ; del che bisogna certo tener conto nella discussione dei concetti fondamentali, 
senza uscire s’intende dal campo puramente matematico (vedi pref.). E d’altronde sarebbe veramente 
meraviglioso che una forma astratta cosi complessa qual’ è il continuo numerico ottenuto non solo 
senza la guida di quello intuitivo, ma come si fa oggi da alcuni autori, da pure definizioni di segni 
si trovasse poi d’ accordo con uni rappresentazione cosi semplice e primitiva qual’ è quella del con 
tinuo rettilineo. 
Il continuo intuitivo rettilineo è indipendente dal sistema di punti che noi vi possiamo immagi 
nare. Un sistema di punti considerato il punto come segno di separazione di due parti consecutive 
della retta o come estremo di una di queste parti, non può mai dare in senso assoluto tutto il conti 
nuo intuitivo perchè il punto non ha parti; soltanto, troviamo che un sistema di punti può rappre 
sentare sufficientemente il continuo nelle ricerche geometriche. Il continuo rettilineo non è mai com 
posto dai suoi punti ma dai tratti che li congiungono due a due e che sono pur essi continui. In questo 
modo il mistero della continuità viene ricacciato da una parte data e costante della retta ad una 
parte indeterminata quanto piccola si vuole, che è pur sempre continua, e dentro alla quale non ciò 
permesso di entrare più oltre colla nostra rappresentazione. Ed è in questo mistero che si ravvolge in 
fondo il concetto fondamentale di limite. Ma matematicamente, è bene rilevarlo, questo mistero non 
ha alcuna influenza, poiché ci basta la determinazione del continuo mediante un sistema ordinato 
ben definito di punti; però è altresi da osservare che la determinazione per punti è casuale perchè l’in 
tuizione del continuo l’abbiamo ugualmente senza di essa. Se si considera infatti il punto senza parti 
allora come si è detto facendo anche corrispondere a tutti i numeri reali conosciuti i punti della retta 
a partire da un’ origine, non otteniamo tutto il continuo. Se si considera il punto come parte quanto 
piccola si vuole ma costante, allora nemmeno tutti 'numeri razionali sono rappresentabili sul seg 
mento rettilineo a cominciare da uno dei suoi punti come origine ; eppure esso rimane continuo nel 
l’intuizione.