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(AB) comune, (AC)=(BB), BAC=ABD per dato, dunque (BC) = (AB) (coroll. 
teor. Ili, 16). 
I due triangoli ACB, BBC sono uguali per avere il lato comune (CD) e gli 
altri due lati rispettivamente uguali, cioè (AC)= [BB), (AB) = (BC), dunque le 
coppie ACB, BBC corrispondenti sono uguali (coroll. teor. III) (flg. 12). 
I triangoli ACF, BDF sono uguali per avere i lati (CF), (BF) ; (AC), (BB) 
uguali e le coppie da essi comprese uguali (a), e perciò (AF) = (BF) (coroll. 
teor. Ili, 16). 
Per la stessa ragione sono uguali i triangoli ACE, BBE, dunque (CE)^(BE). 
I triangoli CFE, BFE sono uguali per avere i tre lati rispettivamente 
uguali (teor. Ili), dunque le coppie CFE, BFE sono uguali (coroll. teor. III). Per 
la stessa ragione sono uguali i triangoli AEF, BEF e quindi anche le coppie 
AÈF, BEF, ed il teor. è dimostrato (fig 12). 
Bef. I. La figura formata da quattro punti ABCB non situati in linea 
retta e dai quattro segmenti rettilinei che li uniscono due a due si chiama qua 
drangolo semplice o quadrangolo. 
I punti dati sono i vertici, i loro segmenti i lati del quadrangolo. Per 
lati intenderemo anche le rette sui quali sono situati i segmenti anzidetti. 
Teor. VII. Le figure rettilinee determinate da due gruppi di m punti ABCB 
.... ili, A'B'C' .... M' sono uguali, se i segmenti rettilinei che hanno per 
estremi gli m punti dati sono ordinatamente uguali. 
Siano dati ad es. due gruppi di quattro punti ABCB, A'B'CB' che supponia 
mo non siano in linea retta. Se non sono in linea retta quelli di un gruppo, non 
possono esserlo neppure quelli dell’altro, (teor. IV). La figura rettilinea del gruppo 
ABCB si ottiene congiungendo i quattro punti fra loro mediante dei segmenti, 
e poi considerando i segmenti determinati dai punti dei primi, e così via (def. 
I, 9). Dico che in tal caso la corrispondenza d’identità 
è pienamente determinata dai dati del teor. stesso. 
Intanto i triangoli corrispondenti che hanno per 
vertici tre punti dati delle due figure sono uguali 
per avere i tre lati uguali (teor. III). 
1°. Scelti due punti le Yin uno dei segmenti dei 
quattro punti ABCB, ad es. in (AD), o nel suo prolun 
gamento, i punti corrispondenti X' e Y' in (A'B') sono 
estremi di un segmento uguale, e i segmenti che essi 
formano con A 1 e B' sono uguali a quelli determinati dai punti X e Y sulla retta 
AB con A e B (teor. VI, 15). 
2°. Scelti invece due punti X e X x nei segmenti [AB) e (BC), o nei loro 
prolungamenti, e costruiti i due punti corrispondenti X' e Xf, siccome i due 
triangoli ABC, A'BC' sono uguali, si ha che le coppie di raggi AB, BC; A'B', 
BC sono uguali, e poiché (BX) = (B'X'); (BXf) = (B'X\) si ha: 
(XXfi = [X'X\) (coroll. teor. Ili, 16, opp. teor. II, 15). 
Così per l’identità dei triangoli ABB, A'B'BBBC, B'BC si ha per la 
stessa ragione : 
(BX) = (BX'), (BX 1 )~(BXf)