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I due triangoli XDX lf X'D'X\ sono uguali per avere i tre lati uguali (teor. 
Ili), dunque: 
XDX^ — X'D'X', (corolla teor. III). 
Scegliendo sopra (DX) e (DX } ) due punti Y e Z, e sopra i segmenti corri 
spondenti (D'X'), (D'X/) i punti corrispondenti Y', X', si ha per la stessa ragione 
(YZ) = (Y'Z'). 
3.° Dati i due punti X 2 e X x sui segmenti (AD) e (DC), o sui loro pro 
lungamenti, e quindi i punti corrispondenti X 2 ' X/, sulle rette A'D', B’C (1°.) si ha 
(AX^^ (A'X' x ) (2°.) quindi i triangoli ADX x , A'D'X/ sono uguali per avere i tre 
lati uguali (teor. III). 
Così sono identici i triangoli X 2 AX x , X£AX{ per avere due lati e la coppia 
da essi compresa in A e in A' uguali, dunque (X 2 A r x ) = (X 2 'Xj'). Dato ora un punto 
X 3 della retta CD e il punto corrispondente X 3 ' in C'D' (1°.) e due punti Y x X, 
sulle rette XjX 2 , XX 3 e i due punti corrispondenti Y/X/ in X 1 'X 2 ', X'X 3 , sic 
come i segmenti determinati dai quattro punti XX x X 2 X 3 sono rispettivamente 
uguali per le dimostrazioni precedenti ai segmenti dei punti coiTispondenti 
XX/X 2 'X 3 ', si ha: (Y x X x ) = (Y/X/). 
Da ciò si scorge che i segmenti formati dai punti ADCDXX x X 2 X 3 sono 
rispettivamente uguali ai segmenti dei punti A'B'C'D' X'X/X^Xg'. Due altri punti 
YX sono situati in uno o in due di questi segmenti o dei loro prolungamenti, e si 
presentano i tre casi 1°, 2°, 3°. Quindi si possono costruire i punti corrispon 
denti Y'Z' in modo che risulta (Y’X') = (YX). Considerando come coppia di punti 
Y,X, ad es. Y e uno dei punti già costruiti, cioè ABCD XX T X 2 X 3 , ad es. A, si 
ha per la stessa ragione 
(YA)ee(Y'A’)- 
Dunque i punti Y e X, Y* e X' hanno rispettivamente le stesse distanze 
dai punti corrispondenti così costruiti. 
Dati due punti qualunque V e V } della prima figura essi sono situa 
ti in segmenti o in prolungamenti di segmenti corrispondenti già costruiti 
(1°.); oppure in segmenti o prolungamenti di segmenti corrispondenti già 
costruiti le cui rette hanno un punto comune, senza escludere che ne ab 
biano anche un altro (2°.); o finalmente sono situati in segmenti o prolun 
gamenti di segmenti già ottenuti, le rette dei quali non hanno un punto 
comune (3°.). In ogni caso si ha: (VV') = ( V^'); dunque si può stabilire fra 
le due figure rettilinee ABCD, A'B'C'D' una corrispondenza univoca tale che i 
segmenti dei punti dell’una siano ordinatamente uguali ai segmenti dell’al 
tra, e perciò le due figure sono identiche (teor. Ili, 15). 
La stessa dimostrazione vale evidentemente anche nel caso si tratti di 
un numero qualunque m di punti, perchè si dimostra successivamente la ugua 
glianza delle distanze dei punti corrispondenti dai punti già costruiti e fra 
loro (conv. II, 15). 
Oss. III. Non è da confondere il teor. precedente col teor. Ili del n. 15, perchè men 
tre questo non dipende dall’ass, V, da questo assioma dipende invece il teor, VII.