244 
Teor. Vili. La figura rettilìnea formata da m raggi ìncontrantìsi in un 
punto X, è uguale alla figura rettilinea formata dai raggi opposti. 
Siano XA V XA 2ì .... XA m determinati dai segmenti (XAJ, (XA 2 ), .. .., 
(XA m ) a partire da X. Sui raggi opposti consideriamo i punti A{, A 2 , 
A'm tali che: 
(XAJsiXA/); (XA 2 ) = (XAJ), .... , (Zi w .) =(XA M '). 
Facciamo corrispondere X a sè stesso, i punti A r ai punti A' r ; Essendo le cop 
pie di raggi opposte al vertice XA r , XA' S ; XA' r , XA' S uguali (teor. II) si ha 
(A r A s ) = (A'r A' s ) (coroll. teor. Ili, 16), e quindi i segmenti determinati 
m punti A y ,A 2 , ...., A m sono uguali a quelli dei segmenti degli m punti corrispon 
denti A/, A 2 , ...., A' m . Le due figure rettilinee A lt A 2 ,...., A m ; Af,Af,...., A' w 
sono identiche (teor. VII), e perciò anche le figure XA x A 2ì .... A m , X'AfAf 
.... A m ; dunque il teorema è dimostrato (teor. VII). 
Ad una retta di una figura corrisponde una retta della seconda (coroll. 
teor. VI, 15), e quindi se tre punti A r , A s , A r sono in linea retta lo sono anche 
i tre punti corrispondenti A’ r , A' s , A’ r . J ). 
§ io. 
Ipotesi I e II sulla, retta, assoluta xni). 
18. Oss. I. Finora noi abbiamo considerata tacitamente la retta rispetto ad una 
sola unità corrispondente all’unità sensibile (oss. IV e oss. emp. I, 4), ed abbiamo 
dati gli assiomi che valgono rispetto a questa unità. 
Come abbiamo fatto nell’introduzione colle ip. Ili, IV, V, VIL Vili, vogliamo 
ora stabilire alcune ipotesi le quali non contraddicano agli assiomi già dati e non 
si contraddicano fra loro, e ci permettano non solo di allargare il campo della geo 
metria ma di servirci poi di esse per studiare le proprietà del campo finito stesso 
rispetto ad un’ unità sotto un punto di vista più generale ì ). 
Nelle note contrassegnate con numeri romani indicheremo minutamente la via 
da seguire senza ricorrere a queste ipotesi. 
Ip. 1. La retta è un sistema di punti ad una dimensione iden 
tico nella posizione delle sue parti, continuo assoluto e determi 
nato da due dei suoi punti distinti. 
I) Di questi due ultimi teoremi daremo un’ altra dimostrazione in ogni spazio speciale che noi 
considereremo (compreso anche il piano). Le dimostrazioni qui date hanno il vantaggio di essere in 
dipendenti dal numero delle dimensioni dello spazio, e quindi di valere sia nello spazio generale (def. 
li, 2) come in ogni altro spazio speciale. 
L’ass. V ó subordinato all’esistenza delle coppie rettilinee identiche. I teoremi di questo nume 
ro ci danno 1’ esistenza di figure identiche nello spazio generale. 
in conformità a ciò che abbiamo detto nella prefazione e nella nota 1, 16 osserviamo che, come 
si vedrà, nello spazio generale due figure determinate da due ennuple di raggi opposti limitati ad un 
punto sono uguali anche adottando per criterio dell’uguaglianza di due figure quello della sovrappo 
sizione mediante il movimento senza deformazione; che se si dice comunemente che due triedri 
opposti al vertice nello spazio ordinario non sono uguali, ciò dipende appunto perché si restringe il 
concetto dell’uguaglianza (int. oss. Ili, 9 e oss. Ili, 58), come qui si vede trattando la geometria indi 
pendentemente dalle dimensioni dello spazio o nello spazio generale (oss. Ili, 2, e oss. IX, 4). Vedi l’ul 
timo paragrafo di questo capitolo, e i paragrafi analoghi dei capitoli successivi. 
XIII) Questo paragrafo va naturalmente escluso, 
?) Vedi pref.