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Oss. II. Che questa ipotesi non contraddica all’assioma II, a che si riferisce ta 
citamente all’unità sensibile (oss. IV, 4) fu già dimostrato nell’introduzione, e d’al 
tronde l’ass. II, a non stabilisce che la retta non possa essere continua in senso as 
soluto, dimodoché l’ip. I potrebbe essere contenuta fin da principio nell’ass. II, a 
aggiungendo in questo assioma che la retta è continua assoluta (int. def. I, 101). Nè 
l’ip. I contraddice agli altri assiomi che riguardano il di fuori della retta (int. def. VI, 
13), e tacitamente il solo campo finito rispetto ad un’unità (oss. IV, 4). Anzi dall’ip. I, 
si deduce che la retta è continua rispetto ad ogni segmento di essa come unità 
(int. 6, 101). 
L’ip. I non contraddice neppure all’intuizione che si esercita nel campo finito 
dell'unità sensibile, nel senso che l’infinitesimo è nullo rispetto a questa unità (oss. 
emp. I, 4 e int. V, 91), ma non già nel senso che un segmento infinitesimo ed uno in 
finito siano contemporaneamente intuitivi. È perciò che il sistema assoluto dato dal- 
l’ip. I non ha che un valore astratto ed ha valore geometrico in quanto questa colle 
altre ipotesi che daremo in seguito, ci aiuta, come si vedrà, nello studio del campo 
finito relativamente ad ogni unità. 
Oss. III. I teor. I-V del n. 4 che dipendono unicamente dall’ ass. Il, a valgono 
evidentemente anche in senso assoluto. 
Ip. IL Due rette coincidono in senso assoluto se hanno in co 
mune il campo relativo ad un unità qualunque a partire da 
ogni punto come origine (int. def. I, 107). 
Oss. IV. La coincidenza di due rette nel campo finito relativamente all’unità 
sensibile, se non è stabilito che i loro punti in senso assoluto non coincidono, possia 
mo ritenerla quale coincidenza assoluta (int. def. Ili e V, 57 e ad es. a", 109), e la prima 
ipotesi che si presenta alla mente, è che quando coincidono nel campo dell’ unità sen 
sibile, coincidano in senso assoluto in tutta la loro estensione (int. def. I, 82). 
19. Oss. I. Pel nostro scopo basta che limitiamo la retta ai segmenti finiti, infi 
niti e infinitesimi di ordine finito rispetto ad un’ unità fondamentale (def. VII, 92), 
che come sappiamo formano un gruppo chiuso nel senso del teor. m, 93 dell’intro 
duzione, e quindi non occorrono le considerazioni relative ai segmenti (e quindi an 
che ai numeri) infiniti e infinitesimi d’ordine infinito; anzi in seguito ci limiteremo ai 
campi di due sole unità. 
Riportiamo qui alcuni dei teoremi dell’introduzione che maggiormente ci servi 
ranno in seguito, o che meglio fanno conoscere la natura della retta in senso assoluto. 
Teor. I punti all’ infinito in un dato verso coincidono in un solo punto 
rispetto ad un segmento unitario qualunque (int. i, 85). 
Oss. II. Quando diremo punti all’infinito rispetto ad un’unità senz’altro inten 
deremo in senso assoluto i punti del campo all’infinito di 1° ordine (int. def. IV e 
oss. IV, 86). 
Teor. II. Sulla retta aperta vi è intorno ad un punto come origine un 
campo finito rispetto ad un dato segmento come unità, e vi sono dei campi infiniti e 
infinitesimi d’ordine n qualunque. I punti limiti all’ infinito di 1°, 2°, ...., n mo 
ordine rappresentano rispetto all’unità fondamentale i campi all’infinito dello 
stesso ordine (oss. I; oss. Ili, 18; int. ip. IV, def. II e III, 86 e i', 85). 
Oss. III. Si usa l’espressione punti limiti ad es. di 1° ordine quando non si 
esce dal campo finito, ma in senso assoluto non si può parlare di punti limiti al- 
l’infinito rispetto ad una data unità (int. f, oss. Ili e IV, 86), 
Teor. III. Baio un segmento (AB) sulla retta chiusa, esso o è finito o infini 
tesimo di ordine determinato n rispetto a tutta la retta, e quindi nella retta