247 
Dìfatti rispetto all* unità finita il vertice C dovrebbe coincidere con A e 
con B, ciò che è assurdo perchè A e B sono due punti distinti rispetto al 
l’unità (AB) (int. b', 91 e b, 81). 
CoroTl. I. Se due lati di un triangolo sono finiti, il terzo lato non può es 
sere infinito. 
Perchè i due primi lati sarebbero infinitesimi rispetto al terzo (int. 
def. Ili, 86). 
Coroll. IL Un triangolo non può avere un lato finito, un altro infinito e il 
terzo infinitesimo. 
Considerando il secondo lato come finito gli altri due sono infinitesimi 
(int. e, 82). 
21. Bef. I. Consideriamo tutte le rette che contengono un punto S, e in cia 
scuna di queste rette prendiamo come origine fondamentale S e con l’unità 
fondamentale ^ (int. def. VII, 92). Tutti i punti a distanza finita da S in queste 
rette in uno e nell’altro verso determinano ciò che chiameremo campo finito 
intorno al punto S rispetto all’ unità s. 
Oss. I. Tacitamente ci riferiamo qui ad un punto S del campo finito rispetto al 
quale abbiamo stabiliti gli assiomi precedenti (oss. IV, 4). Il campo finito intorno ad 
un punto S non si riduce ad una sola retta (teor. IX, 4 che a maggior ragione vale 
in senso assoluto (int, def, III e V, 57). 
Def. II. Se si considerano in tutte le rette suddette a partire da S in 
uno e nell’altro verso tutti i segmenti infinitesimi di n mo ordine rispetto al 
l’unità s, essi determinano il campo infinitamente piccolo di n m0 ordine intorno 
ad S e rispetto all’ unità fondamentale s (oss. I, 19). 
Oss. II. Il campo finito contiene (def. I, 2) i campi infinitesimi del punto S, e 
quindi quando parleremo dei punti del campo finito del punto S intenderemo anche 
in senso assoluto i punti dei campi infinitesimi di S, vale a dire quando diremo che 
un punto appartiene al campo finito del punto S in senso assoluto e senz’ altra con 
dizione intenderemo che esso non è a distanza infinita da S, sempre però rispetto 
all’unità fondamentale scelta. Se ci occorrerà di dire che esso è a distanza finita an 
ziché a distanza infinitesima, o inversamente, lo diremo esplicitamente quando non ri 
sulterà chiaro dal discorso stesso. 
Bef. III. Se la retta è aperta intorno al punto S abbiamo i campi infi 
niti eli 1°, 2°, .... n mo ordine sopra ogni retta rispetto all’unità fondamentale 
s a partire da S (teor. II, 19), e quindi intorno ad S nello spazio generale 
(def. II, 2 e teor. X, 4) abbiamo dei campi infiniti di 1°, 2°, ...., n mo ordine 
rispetto alla data unità fondamentale. 
I punti limiti all’infinito sulle rette intorno ad A ci danno i campi li 
miti all'infinito di 1°, 2°, ...., n mo ordine. 
Oss. III. Se la retta è chiusa e la data unità s è infinitesima di 1° ordine ri 
spetto all’intera retta, si ha il solo campo infinito di 1° ordine, che in questo caso 
anche in senso assoluto chiameremo infinito soltanto, non essendovene altri. 
Se invece la data unità fosse infinitesima d’ordine n rispetto all’intera retta 
(oss. I, 19), questa avrebbe a partire da S due punti limiti distinti di 1°, 2°, .... 
(n—\)mo ordine e due punti limiti coincidenti di ordine n (coroll. I, teor. Ili, 19). In 
tal caso si ha intorno ad S un campo all’infinito di T, 2°, ...., nmo ordine rispetto 
all’unità data.