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B' 
fig. 14. 
distanza da A (teoi*. III). I punti B, C, É determinano un triangolo, perchè altri 
menti il punto B' sarebbe sulla retta BC contro il dato. 
Se (BC) è finito deve esserlo anche il lato (CB'), perchè non può essere 
* A infinitesimo (teor. I, 20), nè può essere infinito (coroll. II, teor. I, 20). 
Dunque la retta CB' deve coincidere rispetto all’ unità colle due rette, 
perchè nel triangolo CB'B i due lati (BC), (CB') sono finiti e (BB') è 
infinitesimo (teor. III). 
Reciprocamente se (CB') è finito la retta CB' deve coincidere 
colle due rette rispetto all’ unità finita. 
Difatti le due rette date sono infinitamente vicine, i punti B' e 
C sono infinitamente vicini ai due punti B e C ciascuno sulla retta 
rimanente, e quindi (BC) deve essere finito sulla retta data AC, per 
chè non può essere infinitesimo essendo (B'C) finito e (BB') infinitesimo (teor. 
I, 20), nè può essere infinito (coroll. II, teor. I, 20). Ma in tal caso, per quanto si è 
detto sopra, la retta B'C coincide con le rette date rispetto all’unità finita. Dunque 
se (B'C) e finito la retta B'C coincide con le rette date. 
Non può essere (B'C) infinito, perchè (BC) è al più finito e (BB') e infini 
tesimo (coroll. II, teor. I o teor. I, 20), dunque se la retta B'C non coincide per 
dato con le rette date, il segmento (B'C) deve essere infinitesimo, altrimenti se 
fosse finito (int. f, 82) la retta B'C coinciderebbe appunto colle due rette date. 
Così è dimostrata la prima parte del teorema. 
Ora se due rette AB', AC date, sono tali che i punti B' e C soddisfino alla 
condizione del teorema e la retta B'C coincide con una delle due rette, ad es. 
con la AC, ciò significa che il punto B è infinitamente vicino ad un punto 
di AC (def. I e teor. Ili), e quindi le due rette AB' e AC coincidono rispetto 
all’unità data (teor. Ili) (fig. 14). 
Coroll. I. Se due raggi che hanno un punto comune A coincidono rispetto 
ad un’ unità, coincidono anche i raggi opposti. 
Ogni punto dato di un raggio è un punto della retta che lo contiene 
(def. I, 7), e quindi ogni punto della retta di un raggio coincide con un 
punto della retta dell’altro raggio, vale a dire le due rette hanno gli stessi 
punti comuni, ossia coincidono (def. I, 2 e int. def. V, 57). Ma un raggio ha 
un solo raggio opposto sulla retta (def. I, 7) dunque i due raggi opposti ai 
coincidenti coincidono essi pure (def. II, 7). 
Teor. V. Se due rette aventi un punto comune A sono distinte in un campo 
finito intorno ad A e rispetto all’unità di questo campo, presi su di esse due 
punti B e C qualunque a distanza finita dal punto A, essi determinano un 
segmento finito di una retta distinta dalle rette date. 
Difatti (BC) non può essere infinito (coroll. I, teor. I, 20), nè può essere 
infinitesimo perchè allora le due rette coinciderebbero e non sarebbero di 
stinte rispetto all’unità del campo suddetto (teor. IH). Nè può essere che la 
retta BC coincida rispetto all’ unità suddetta con una delle due rette, perchè 
coinciderebbero per questa unità anche le due rette date (teor. IV). 
23. Oss. I. In seguito all’oss. I del n. 22, nella quale abbiamo accennato alla possibilità 
che le rette distinte passanti per un punto S rispetto all’ unità fondamentale s, cor 
rispondente all’ unità sensibile (oss. I, 21), coincidano rispetto ad un’ unità infinita o