254 
retta chiusa le rette anzidette non incontrino la retta data in un suo punto 
del campo finito. 
Sia 27 M A la retta data e il punto S fuori di essa, I punti all’infi 
nito rispetto all’unita (SA), distinti in senso assolu 
to, danno rette distinte perchè se coincidessero in sen 
so assoluto, i due punti Z„ e Z' w (ind. I) non deter 
minerebbero la retta; ciò che è escluso se la retta è 
aperta, mentre nel caso della retta chiusa dovrebbero 
essere punti opposti (teor. VI), e quindi due altri punti 
all’infinito non opposti determinano la retta con S. 
Supponiamo ora che i due punti Z M , Z' M diano due rette distinte nel campo 
finito intorno a S. In tal caso considerato il campo intorno ad S rispetto alla 
unità (SZJ, la retta Z' a> A deve coincidere rispetto a questa unità colla retta 
Z' M S (teor. Ili, 22), e quindi colla retta Z M S (teor. IV, 22). Dunque rispetto 
all’unità infinita le due rette SZ' X , S Z x devono coincidere, mentre per l’ipo 
tesi fatta esse dovrebbero essere distinte (ip. IV) ; dunque è assurdo che SZ M , 
SZ\ siano distinte. 
Se uno dei punti Z„ è all’infinito d’ordine n e Z\ all’infinito d’ordine 
m (oss. I, 19), le rette SZSZ' X coincidono rispetto all’ unità infinita di 1° 
ordine con la retta AZ M e quindi per la stessa ragione SZ X e SZ M non possono 
essere distinte rispetto all’unità del campo finito intorno a S, che è anche 
quello intorno ad A rispetto all’ unità (AN) (teor. I, 23) (fig. 15). 
Si è posta la condizione che la retta passante per 5 e per un punto al 
l’infinito di AZ M non debba incontrare la retta AZ M in un altro punto del campo 
finito, ad es. A, nel caso della retta chiusa, il che è ancora possibile (teor. II, 
14, teor. VI, 23), perchè in tal caso i punti A S Z M non formano più un trian 
golo e non si può più dire in generale che le rette AS e AZ K coincidono ri 
spetto all’unità infinita, perchè se ciò fosse tutte le rette passanti per A coin 
ciderebbero rispetto all’unità infinita in una sola retta, il che è escluso (teor. 
IV e oss. IV, 23). 
Coroll. La retta determinata da due punti all'infinito di due rette distinte 
del campo finito passanti per S è situata tutta all' infinito. 
Difatti se fosse una retta del campo finito (def. I) essa coinciderebbe ri 
spetto all’unità infinita colle due rette date (teor. III, IV, 22), e quindi queste 
due rette coinciderebbero rispetto all’unità infinita e non potrebbero essere 
distinte, contro l’ip. IV. 
Oss. V. Nel caso della retta chiusa e che l’unità del campo finito sia infinitesima 
di P ordine rispetto all’intera retta, ogni retta del campo finito ha un solo punto 
limite all'infinito (teor. Ili), e poiché due punti limiti distinti sono dati da rette di 
stinte passanti per S, una retta che congiunge due punti limiti all’infinito (s'intende in 
senso assoluto una retta che congiunge due punti all'infinito delle due rette distinte 
che hanno quei punti limiti) cade all’inflnito.