§ 12. 
Rette che uniscono un punto del campo finito 
con punti all'infinito xv). 
24. Teor. I. Data una retta AZ X qualunque del campo finito, le rette che con 
giungono il punto S fuori di essa coi punti alVinfinito della retta data e in 
un dato verso sono coincidenti rispetto all’unità del campo finito ; mentre ri 
spetto ad un’unità infinita di qualunque ordine sono coincidenti colla retta AZ M 
stessa; sempre che nel caso della retta chiusa le rette passanti per S non in 
contrino la retta AZ» in un altro punto del campo finito. 
Difatti le rette che congiungono il punto S (def. I, 21 ; oss. Ili e IV, 23) 
coi punti all’inflnito della retta AZ w rispetto all’unità (SA) coincidono in una 
sola retta (teor. VII, 23), ma non colla retta AZ m ; mentre le rette AZ X e SZ. M 
sono distinte, essendo il due punto S fuori della retta AZ X <flg. 15). 
Rispetto ad un’ unità infinita, ad es. di 1° ordine e perciò anche di ordine 
superiore (int. def. II, 86), (^4$) è infinitesimo, e quindi tutte le rette passanti 
per S e per i punti all’infinito sulla retta AZ X nel verso considerato a par* 
tire da A coincidono rispetto alla nuova unità colla retta AZ X stessa (teor. 
Ili, 22). 
Teor. IL Se due raggi aventi impunto comune S sono coincidenti rispetto 
all’unità del campo finito, scelti su di essi due punti B x e C x a distanza in 
finita di 1° ordine da S, e la retta B M C x è una retta r del campo finito di 
stinta da quella dei due raggi coincidenti, i punti B x e C x sono situati nello 
stesso verso a 'partire da un punto A del campo finito sulla retta r. 
Perchè se B x e C x fossero situati in verso opposto a partire da A, sic 
come le rette dei raggi S B x , S C M (def. I, 7) coincidono rispetto all’ unità 
del campo finito (teor. VII, 23) 5«, C n sarebbero situati in versi opposti a 
partire da S, e quindi i due raggi sarebbero opposti e non coincidenti (def. 
II, 7). 
Teor. III. Se i raggi SZ X , SZ' K congiungono il punto S coi punti all’infi 
nito di 1° ordine o di un ordine qualunque, nel caso della retta aperta, di una 
retta Z' x A Z x , e si considerano sui raggi opposti a SZ X e a SZ' X due punti C 
Bea distanza finita da S, il segmento (CD) è infinitesimo; ossia le due rette SZ m , 
SZ' x sono coincidenti rispetto alVunità del campo finito, ma non possono coin 
cidere in senso assoluto. 
Nel caso della retta chiusa ciò vale per un’unità infinitesima di 2° ordine 
e di ordine superiore rispetto all’intera retta. Per un’unità infinitesima di 1° 
ordine rispetto alVintera retta, le rette SZ X , SZ' X coincidono e possono coincidere 
in senso assoluto, essendo escluso il caso che le rette SZ oo , SZ'» incontrino la 
retta AZ' x in un punto del campo finito. 
XV) Questo paragrafo non occorre.