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§ 13. 
Raggi e rette paralleli. 
26. Def. I. Un raggio del campo finito (oss. Ili, 23; def. I, 7 e def. II, 23) dicesi 
■'parallelo ad un’altro raggio di questo campo, quando un punto all’infinito di 1° 
ordine del secondo raggio è situato sul primo, ammesso però che il punto al 
l’infinito determini la retta con ogni punto del campo finito nel caso della 
retta chiusa quando l’unità del campo finito è infinitesima di 1° ordine ri 
spetto all’intera retta (conv. I, 25). 
Teor. I. Se un raggio è parallelo acl un altro, il secondo è parallelo al primo. 
Difatti sia AX x il raggio dato e BX x il raggio parallelo. Il punto I* è 
all’infinito di 1° ordine anche rispetto al punto B (teor. II, 23), e determina con 
B un solo raggio anche in ogni caso della retta chiusa (def. I). 
Coroll. Due raggi paralleli ad un terzo sono paralleli fra loro. 
Difatti siano r e r' i raggi paralleli al terzo raggio r". Un punto X M di r" 
giace in r e in r, e poiché X x è situato all’infinito di 1° ordine in r e in r' 
(teor. II, 23), r e r' sono paralleli (def. I). 
Def. II. Le rette a cui appartengono due raggi paralleli si dicono paral 
lele nel verso determinato dai due raggi (def. I, 7). 
Teor. IL Due rette parallele non hanno alcun punto comune nel campo finito. 
Ciò è chiaro se la retta è aperta, perchè in tal caso due rette non pos 
sono avere due punti comuni (coroll. teor. I, 14 e teor. VI, 23), ed anche nel 
caso della retta chiusa quando l’unità del campo finito è infinitesima di 2° 
ordine e di ordine superiore rispetto all’intera retta (teor. Il, 14 e teor. VI, 23). 
Per l’unità infinitesima di 1° ordine quando la retta è chiusa, non si possono 
incontrare in un punto C del campo finito, perchè altrimenti i punti I» e C 
non determinerebbero la retta contro la def. I. 
Teor. III. I raggi paralleli condotti per il punto S ad un raggio coinci 
dono in un solo raggio rispetto all’unità del campo finito. 
E due raggi paralleli sono coincidenti rispetto ad ogni unità infinita 
(def. I, teor. I e teor. I, 24). 
Coroll. Dal punto S, se la retta è aperta, o se nel caso della retta chiusa 
l’unità del campo finito è almeno infinitesima di 1° ordine rispetto all’intera 
retta, si può condurre una sola retta parallela ad una data retta conside 
rata in un dato verso (teor. II, def. II). 
Teor. IV. Se la retta è aperta qualunque sia l’unità del campo finito, dal 
punto S si possono condurre due rette parallele ad una retta data che coinci 
dono rispetto all’unità finita, ma non in senso assoluto (teor. III, 24 e def. II). 
Oss. I. Se la retta è chiusa, per un punto del campo finito intorno ad un punto 
A, che ha per unità l’intera retta, non passa alcuna parallela ad una retta data, 
Difatti in tal caso non ha più ragione la definizione di rette e raggi paralleli, 
perchè non vi è rispetto all’unità data alcun punto all’infinito XVI). 
XVI) Nel campo finito Euclideo la parallela ad una retta può essere definita in 
dipendentemente dal piano nel seguente modo : 
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