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§ 14. 
I due sistemi generali di geometria. 
Sistemi di Euclide, di Lobatschewsky e di Riemann. Ipotesi V. 
27. Oss. emp. Cogli assiomi già dati sono possibili due sistemi di geometria quello 
della retta aperta e quello della retta chiusa sia in senso relativo ad un unità che 
in senso assoluto (teor. I, 4; oss. Ili, 18). Per decidere la questione bisogna vedere se 
l’osservazione stessa ci aiuta in proposito, imperocché astrattamente potremmo segui 
tare a trattare la geometria sia nell’uno come nell'altro caso. Ma d'altronde per la 
definizione stessa dello spazio generale (def. II, 2) noi dobbiamo decidere i dilemmi 
che si presentano, e, quando non è possibile risolverli per via di deduzione, come in 
questo caso, bisogna ricorrere all’esperienza *). 
Limitando la nostra osservazione all’oggetto rettilineo, a prima vista l'oggetto 
corrispondente alla retta, e che si ottiene immaginando prolungato indefinitamente 
in uno o nell’altro verso un filo teso (oss. emp. I, 4), esso ci sembra aperto: tale cioè 
che un punto partendo da una posizione iniziale A su di esso e in un dato verso non 
ritorni mai più nella posizione primitiva. Questa proprietà ha luogo realmente entro 
Def. Se due triangoli uguali hanno due coppie di lati opposti, i lati opposti a 
queste coppie si dicono paralleli. 
Siano RAB, RA B' i due triangoli uguali con due coppie di lati opposti, il che 
è possibile (teor. II, 17 e teor. III, 16). In tal caso preso un punto C sul lato (AB), e 
dato sul raggio opposto di (AC) il punto C' ad uguale distanza da A, siccome i 
triangoli ABC, A'RC', BRC; B'RC' ; ARB; A'RB' sono identici (teor. II, 17 e teor. 
Ili, 16) e i punti ABC sono in linea retta, lo sono pure i punti A'B'C' (teor. V, 17) 
(vedi fig. 27). 
Scegliendo un’altra retta, ad es. AG', non risulta che congiunto il punto medio 
R' di (AG') con un punto qualunque di AB, ad es. C, e costruito il punto C 1 ad 
uguale distanza di G da R', il punto G\ sia situato sulla retta A'B'. 
Ricorrendo all’esperienza, approssimativamente essa ci assicura che ciò ha luogo, 
e quindi diamo il seguente assioma. 
J.ss. VI. Per un punto passa una sola retta parallela ad una retta data. 
Coll’ass. Il' si dimostra che due rette parallele non possono incontrarsi, perchè 
se avessero un punto X comune, la retta AX incontrerebbe di nuovo le due rette in 
un altro punto comune X' ad ugual distanza da R, e quindi se X e X' fossero di 
stinti le due rette avrebbero due punti comuni, contro l’ass. ir. 
Ed anche se fossero coincidenti dovrebbero essere ad uguale distanza da R, e per 
l’assioma VI, anche da R', ciò che è impossibile (int. def. 1,61 e teor. I, 4). Coll’ass. II 
invece resta indeterminato fino ad ora se due rette, nel caso della retta chiusa, pos 
sano avere due punti opposti comuni, ma anche in tal caso coll’ass. VI or ora dato 
due rette parallele non possono incontrarsi, perchè i punti X e X' dovrebbero essere 
equidistanti da U e R, (teor. II, 14) il che è assurdo. 
Rimane però sempre da provare sia coll’ass. II come coll’ass, II' che la retta è 
aperta, proprietà che dimostreremo in una delle note seguenti e che viene ammessa 
comunemente nei trattati elementari col postulato che la retta viene divisa da un 
suo punto in due parti, mentre nella retta chiusa ne occorrono due. (Vedi nota VI). 
Dobbiamo tener presente nelle note ulteriori, fino a questa dimostrazione, la possibi 
lità che la retta sia aperta o chiusa, e che neH’ultimo caso coll’ass. II due punti op 
posti possono non determinare la retta (teor. II, 14). 
1} in seguito avremo altre prove che gli assiomi suddetti valgono in ambedue i casi.