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lig. 16. 
il campo della nostra osservazione su quell’oggetto, che cor 
risponde ad una parte del campo finito intorno al punto ove 
trovasi l’osservatore (def. I, 21), ma ciò non significa punto 
che tale proprietà debba aver luogo per l’intera retta. Difatti 
immaginiamo un oggetto corrispondente ad una linea sem 
plicemente chiusa, come finora dobbiamo supporre possa es 
sere la retta (fig. 16), e supponiamo che 1’ osservatore non 
possa esplorare che la parte {AB), distinta nel disegno da un 
doppio tratto. È chiaro che se l’osservatore bada soltanto a 
ciò che vede è indotto a credere che quell’oggetto sia aperto, 
mentre in realtà è chiuso. E ritenendolo tale, considerando come unità un segmento 
finito ìùspetto al suo campo dell’osservazione materiale sull’oggetto, e se l'osservatore 
non ammette la realtà dell’infinito rispetto alla sua unità sensibile, allora l’oggetto 
deve essere finito. Ma il pensatore ammettendo astrattamente l’infinito, come abbiamo 
fatto noi e senza bisogno di ammetterne la realtà nel mondo esterno, può immagi 
nare senza contraddirsi che costruito tutto il campo finito sull’oggetto a partire dal 
punto G, l’oggetto in questo campo sia aperto, ma astrattamente la linea corrispon 
dente sia chiusa. In tal caso la sua unità sensibile sarà infinitesima rispetto all’ in 
tera retta e di un ordine qualunque dato rispetto ad essa (teor. Ili, 19). E se am 
mette che il campo sensibile sia infinitesimo di 1° ordine a partire da un punto qua 
lunque di essa come origine, la retta sarà infinita di 1° ordine rispetto all’unità sen 
sibile ed avrà un solo punto limite all’infinito (coroll. I, teor. Ili, 19). Se la ritenesse 
invece infinitamente grande di 2° ordine rispetto alla unità sensibile, allora la retta 
avrebbe a partire da un punto qualunque due punti limiti all’infinito di 1° ordine di 
stinti nei due versi di essa a partire da un punto come origine. La stessa cosa av 
verrebbe se il pensatore supponesse la intera linea infinita d’ordine n (oss. I. 19) ri 
spetto all’unità sensibile dell’osservatore. 
Se poi ammette anche resistenza concreta dell’infinito secondo le ipotesi stabi 
lite nell’introduzione, il che geometricamente non includerebbe contraddizione, e nep 
pure è contrai’io all’intuizione o all'esperienza nel senso che lascia inalterate le pro 
prietà del campo intuitivo (def. II, 2); e supponendo inoltre resistenza di un altro es 
sere la cui unità sensibile fosse infinita di nmo ordine rispetto alla nostra, quella 
linea rispetto a questo nuovo osservatore non sarebbe più infinita (int. c, 91; a, 86 
e coroll. I, teor. Ili, 19). E se il secondo osservatore potesse senza contraddirsi sup 
porre soltanto l’esistenza del primo, come pensatore, se valessero per esso gli stessi 
principi svolti nel cap. I dell’ introduzione, stabilirebbe le 
stesse ipotesi sui segmenti finiti e infiniti. 
L’osservazione sull’oggetto rettilineo corrispondente alla 
retta non ci aiuta dunque a decidere se la retta sia aperta 
o chiusa. 
Ricorriamo ora ad altre osservazioni. Sia dato il solito 
oggetto rettilineo (fig. 17). Osservandolo ad occhio nudo o 
col microscopio, o prolungato che sia col telescopio, vediamo 
che ogni segmento {AA{) di esso è finito (int. def. II, 82j ri 
spetto ad ogni altro segmento limitato che possiamo osser 
vare. x ). 
1) Non dico che tutti i segmenti rappresentàbili siano finiti, intorno alia parola rappresentazione 
si fa non poca confusione non solo per rispetto all’infinitesimo ma altresi relativamente alle figure a più 
di tre dimensioni (vedi per queste ultime la pref. e specialmente la parte II). Secondo i nostri principi 
dell’introduzione il segmento infinitesimo, indipendentemente dai segmenti finiti, si può figurarselo come 
un segmento osservabile, in modo che si può applicare l’intuizione spaziale anche ai campi infinita 
mente piccoli o infiniti sulla retta, e la possiamo applicare per intero in ogni campo infinitesimo o infini 
to a tre dimensioni intorno ad un punto, perchè per le nostre ipotesi 1-1V e per le proprietà che svol 
geremo in seguito, almeno in piccola parte di essi ritroviamo le proprietà del campo delle nostre os 
servazioni. Possiamo dire che non abbiamo la continuità delia rappresentazione dai segmenti finiti ai 
segmenti infinitesimi o infiniti, e quindi che rispetto al finito l’infinito o l’infinitesimo attuale non è