che in un campo piccolissimo intorno ad un punto S, ma finito e costante, devono
dare i medesimi risultati, il che per lo appunto si dimostra.
Ed è perciò che la prima ipotesi essendo la più semplice, essa è anche sotto que
sto aspetto da preferirsi alle altre due per le pratiche applicazioni.
Quello che potrebbe essere nello spazio intuitivo (oss. emp. 1) si presenta sulla
superficie di alcuni corpi, per es. sulla superficie della terra. Anche i ragazzetti sanno
empiricamente che la terra ha la forma sferica, e sanno che cosa sono i meridiani,
i paralleli ecc. Ebbene consideriamo tracciato sul terreno un meridiano per un pun
to del campo ristretto d'osservazione; evidentemente il meridiano si confonde in
questo campo con grande approssimazione colla retta, eppure sappiamo per altra via
che non è una retta. Se ora sulla terra stessa tracciamo due meridiani per due punti
del luogo in cui ci troviamo, in un campo abbastanza ristretto, noi li confondiamo
con due rette parallele, mentre si sa che si incontrano nei.due poli terrestri XVII) *)
Def. I. L’ipotesi secondo la quale vi sono due raggi paralleli che passano
per un punto R di un campo finito ad una retta r del medesimo campo (def.
II, 23) e giacciono sulla medesima retta (def. II, 7) si chiama ipotesi, assioma
od anche postulato di Euclide.
L’ipotesi secondo la quale i due raggi sono distinti si chiama ipotesi di
Lobatschewsky 2 ).
E finalmente l’ipotesi secondo la quale la retta è chiusa, e che quindi
manchino i raggi paralleli, si chiama ipotesi di Riemann.
I sistemi di geometria nel campo finito di un’ unità che derivano dalle
ipotesi suddette cogli assiomi precedenti I - V si chiamano rispetivamente coi
nomi di Euclide, di Lobatschewsky e di Riemann.
Oss. IL Colle nostre ipotesi sulla geometria assoluta viene escluso il sistema di
Lobatschewsky nel campo finito di ogni unità (teor. IV, 26), e sono possibili soltan
to il sistema Euclideo e il sistema di Riemann; quest’ultimo quando la retta è chiu
so in senso assoluto 3 ).
Noi non ci occupiamo dunque di deciderci o pel sistema Euclideo oRiemanniano
(e nel caso fosse reso possibile anche il sistema di Lobatschewsky nemmeno per que
sto) ma dobbiamo deciderci in senso assoluto per la retta aperta o per la retta chiusa.
E sia perchè la retta chiusa colle nostre ipotesi I - IV comprende il sistema Rieman-
niano e il sistema Euclideo, sìa per le applicazioni che noi faremo specialmente del
primo sistema nello studio dell’ultimo, noi scegliamo la seguente ipotesi:
XVII) Per giustificare invece l’assioma delle parallele che noi abbiamo dato
nella nota XVI si fanno altre considerazioni empiriche, perchè nella nostra defini
zione che meglio si presta per le ricerche nel solo sistema Euclideo, il raggio parallelo
non appare quale raggio limite fra quelli di un fascio che incontrano e non incon
trano la retta direttrice, proprietà che sarà dimostrata più tardi (vedi def. I, 30).
1) Come vedremo Funicità della parallela dà per risultato cogli altri assiomi stabiliti, chela somma
degli angoli di un triangolo è uguale alla somma di due angoli retti ; mentre nellageometria sferica la
somma degli angoli di un triangolo formato da circoli massimi è maggiore di due retti. Ora, in un
campo ristretto d’osservazione sulla superficie terrestre la somma degli angoli di un triangolo è con
grande approssimazione uguale a due retti, e quindi generalizzando questo fatto per tutta la super
ficie si concluderebbe che essa è un piano, come fu ritenuto dagli antichi.
Supponendo dato il piano, e definendo la parallela come quella linea che ha i suoi punti ad ugual
distnzaa (normale) da una retta data nel piano, si può osservare che anche questa definizione contie
ne un assioma che è verificato con grande approssimazione nel campo della nostra esperienza ester
na, perchè realmente estendendo questo campo può darsi che la linea suddetta non sia una retta, ma
un’altra linea la quale nel campo della nostra osservazione si confonda colla retta.
2) Vedi appendice.
3) Vedi pref. e cap. Ili, lib. Il, di questa parte.
