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Ip. V. La retta è una linea chiusa. XVIII). 
Def. II. Il sistema assoluto che risulta dalla retta chiusa lo chiameremo 
sistema assoluto Riemanniano. Supposta la retta aperta in senso assoluto, se 
si può condurre da ogni punto fuori di essa una sola parallela si ha il sistema 
assoluto Euclideo. 
Oss. Ili■ Colle nostre ipotesi I - V non è possibile in senso assoluto il sistema 
di Lobatschewsky come non lo è quello in senso relativo. Abbiamo detto altrove le 
ragioni (oss. II, 18) per le quali ci occuperemo soltanto del sistema assoluto in quanto 
serve al passaggio dal sistema dei diversi campi finiti intorno ad un punto, e spe 
cialmente nel passaggio dal sistema Euclideo al sistema Riemanniano, e inversamente. 
Def. III. Il sistema ad una dimensione (int. def. I, 62) dato dalle rette 
che uniscono i punti di una retta r con un punto R fuori di essa rispetto alla 
retta come elemento e i cui versi sono dati da quelli della retta r, si chiama 
fascio di rette, di cui R è il centro ed r la direttrice. 
Ind. Indicheremo il fascio di centro R e direttrice r col simbolo (Rr). 
§ 15. 
Primo assioma, pratico o postulato di Euclide — Indirizzo delle 
ulteriori ricerche e P unità fondamentale. 
28. Oss. I. Gli assiomi e le ipotesi precedenti bastano come vedremo alio svolgi 
mento della geometria dei sistemi di Euclide e di Riemann ; non bastano però per sa 
pere a quale dei due sistemi corrisponde il campo delle nostre osservazioni, o in al 
tre parole a quale unità della retta corrisponda 1' unità sensibile alla nostra osser 
vazione sull’ oggetto rettilineo. Tale questione non riguarda la geometria in sè, ma 
siccome d’ altra parte la geometria ha pure per scopo principale di essere applica 
bile allo studio dei corpi (def. Ili e oss. IV, 2), così decideremo la questione col se 
guente assioma, che corrisponde al postulato Euclideo (def. I, 27). 
Ass. I pratico. Nel campo delle attuali nostre osservazioni è 
verificata con grandissima approssimazione la proprietà che 
per un punto si può condurre una sola parallela ad una retta 
data XIX). 
Oss. II. È in vista di questo assioma che d’ora innanzi non solo abbandoneremo 
il caso della retta aperta in senso assoluto, ma per la retta chiusa avremo ‘prin 
cipalmente per scopo 11 trattazione del sistema Euclideo intorno ad un punto. E 
sebbene noi tratteremo ugualmente il sistema Riemanniano sia per la geometria in 
senso assoluto sia anche per svolgere le proprietà fondamentali di questo importante 
sistema, lo studieremo però specialmente per giovarci poi nella trattazione di quello 
Euclideo. 
Tratteremo pure del piano di Lobatschewsky nel quale avremo agio di svolgere 
altre considerazioni sui suddetti sistemi geometrici, ma senza che esso porti alcun 
contributo nel nostro libro allo studio del sistema Euclideo stesso o del sistema Rie 
manniano. x ) 
XVIII) S’intende che dopo l’assioma d’Euclide dato nella nota XVI non occor 
rono le ip. I - V nò coll’ ass. II, nè coll’ ass. II' (nota IV). 
XIX) Questo paragrafo è pui’e inutile dopo 1’ assioma delle parallele della nota 
XVI sia coll’ass. II come coll’ass. II'. (Vedi pref.). 
1) Vedi (cap. HI, lib. II).