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tali che 
(AB) -+• (-B-Ai) 
(A^) + (BA) (1) 
sono uguali alla metà della retta. Si ha pure che: 
(BA) + (AB,) 
(B,A,) + (A,B) (2) 
sono uguali alla metà della retta, e quindi confrontando (1) con (2) si ha: 
(.AB) + (BA,)e=(BA) + (AB,) 
Ma 
(AB) = (BA), (BA,) = (A,B), (B,A,) = (A,B,) (int. g, 99 o c, 104) 
dunque si ha: 
(AB,) = (BA,) = (A,B), (AB) ~ (B,A,) = (A,B,) (int. g"' e g IV , 73). 
È chiaro che (AB) e (A^) sono dello stesso verso a partire ad es. da A e 
da A,, perchè B è situato in una metà e B, nell’altra metà opposta determinata 
da A e A, (teor. I), e quindi i quattro punti A, A„ B, B, si seguono nell’or 
dine ABA,B, oppure AB,A,B (int. f, f, f", f'", 63 e 23). 
Teor. IV. Se un punto C di un segmento (AB) lo divide in modo che (AC) 
sia una parte n ma di (AB), il punto opposto C, giace nel segmento opposto (A,B,) 
e (AìCj) è la n ma parte di (A^). 
I punti ACBA,B,A si seguono nel verso in cui si seguono le lettere che 
li indicano. Sappiamo che A e A„ B e B, in qualunque verso della retta de 
vono separarsi (teor. I). Il punto C è situato nei segmenti (B,ACB), (ACBA,) 
e quindi C, deve essere situato nei segmenti opposti, ossia (BA,B,), (A,B,A). 
Non può essere situato nel primo fra B e A„ perchè allora sarebbe situato nel 
segmento AB A, e non nel segmento opposto, dunque deve essere situato nel 
segmento (A^) opposto ad (Ai?). 
La seconda parte è conseguenza del teor. Ili (fig. 18). 
Coroll. Ipunti medi di segmenti opposti sono opposti, (int. e, 99, opp. a, 104). 
Teor. V. I punti medi dei quattro segmenti consecutivi nel medesimo verso 
determinati da due coppie di punti opposti dividono la retta in quattro seg 
menti retti. 
Siano A, A, ; B, B, le due coppie di punti opposti ; i segmenti consecutivi 
da essi determinati sono 
(AB), (BA,), (A,B,), (B,A) 
e siano C e C, i punti medi di (AB) e (A,Bj), D e D, quelli di (BA,) e (B,A) 
(ip. I e int. li, 99 o a, 103). Si ha: 
(GB) -f (BD) = (CD) = (DA,) + (A,C,) = (DC,) (1) 
perchè 
(BD) = (DA,) per dato, e (CA) = (A 1 C 1 ) = (GB) (teor. Ili); 
ed essendo 
(GB) -f (BD) = (BD) ■+■ (CB) (int. e, 99, opp. a, 104). 
Ma (CD) + (DC,) è metà della retta, e poiché (CD) = (DC,) (1), i segmenti 
(CD) e (DC,) e quindi anche (C,D,) e (D,C) sono segmenti retti (def. IV e teor. III).