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Coroll. III. Il segmento che unisce due punti situati da parti opposte del 
piano rispetto ad una retta incontra questa retta in un punto interno, ed in 
versamente. 
Difatti la retta che unisce i due punti X e Y dati non è parallela alla 
retta data s (teor. I), dunque la incontra in un punto S(coroll. II, teor. Ili, 46). 
Ma questo punto divide la prima retta in due raggi situati da parti opposte 
rispetto alla retta.? (def. I, teor. Il e I); e quindi il punto S è interno al segmento 
(XY). 
La proprietà inversa risulta dall’essere SX e SY due raggi opposti, e 
quindi situati da parti opposte della retta s (dei. I). 
Coroll. IV. Un settore angolare {ab) di vertice II può essere generato con- 
giungendo il vertice R coi punti di ogni segmento {AB) i cui estremi giaccio 
no in a e l). 
Siano {AB) e {A'B') due segmenti i cui estremi sono in a e b. Sappiamo 
che il fascio di centro R può essere generato dalle due rette AB e A'B' (coroll. 
Il, teor. Ili, 46), ma non sappiamo ancora se valga la proprietà suddetta, nè 
di tale proprietà abbiamo fatto ancora uso, tranne nel caso che AB e A'B' siano 
parallele (coroll. IV, teor. I, 45). 
Sia E un punto interno al segmento (AB); i raggi RA, RB sono quindi da 
parti opposte del piano rispetto alla retta RE, e perciò 
Al e B' sono situati da parti opposte rispetto alla retta 
RE. Dunque il segmento {A'B') incontra la RE in un 
punto interno (coroll. III). 
Oppure anche: Al segmento {AB) corrisponde il seg 
mento della retta all’infinito del settore {ab) 
(conv. 49), il quale corrisponde all’altro segmento (A'if), 
dimodoché ogni raggio che incontra {A X B X ) incontra 
anche il segmento (A'B') come incontra il segmento 
{AB) (fig. 43) XLVIII) * l ). 
51. Teor. I. Le parti di piano determinate dai settori angolari di un trian 
golo limitati ai lati opposti coincidono. 
fig. 43 
XLVIII) Per il teorema II si dà la stessa dimostrazione (nota XXXI). 
I coroll. I e III si dimostrano nello stesso modo, il coroll, II si dimostra invece 
così: la retta r incontra la retta s in un punto S (coroll. II, teor. Ili, 46 e nota 
XLV) e perciò appartiene al fascio di centro S. Ma i due raggi di r limitati in R 
sono situati nelle parti opposte del piano rispetto alla retta s (teor. II), dunque i! co 
rollario è dimostrato. 
Pel coroll. IV. si dà la prima dimostrazione del testo) ! ). 
1) Le proprietà dei coroll. I, il vengono date d’ordinario tacitamente o no come assiomi nei 
trattati di geometria elementare. Euclide, Baltzer ecc. le suppongono tacitamente. Ad es. De Paolis 
(Elementi di geometria) li dà nei postulati III, 3 e 4, IV. 3; V, 1. Sannia e D’ovidio danno invece come 
postulati i coroll. I, II e III (Elementi di geometria. l8S6-post. 3, 4 e 5 pag. 15-16). Coi postulati sull’in 
vertibilità di un angolo (ab), colla rotazione dei piano intorno ad una sua retta qualunque, fino a 
passare per un punto qualunque dello spazio (s‘ intende senza definizione quello a tre dimensioni — 
vedi libro III), collo scorrimento del piano lungo una sua retta e colla rotazione intorno ad ogni suo 
punto in due direzioni opposte, si ammettono, facendo uso del postulato del movimento senza defor 
mazione (n. 37), i coroll. Il, III del teor. I, il coroll. I del teor. II, il teor. IH del n. 47 e il teor. Il del 
n. 48, dimostrati anche nelle note precedenti senza 1’ uso dell’ infinito, tranne il coroll. I del teor. Il 
del n. 47, che sarà dimostrato più tardi. Cosi si ammettono tacitamente o no altri postulati che in 
vece noi dimostreremo.