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Coroll. IV. Un triangolo coi vertici interni acl un altro triangolo o sui lati 
di esso, è interno al secondo triangolo. 
Difatti se il primo triangolo dato è A'B’C', i lati (A'B'), (A'C') (B’C) sono 
interni al triangolo ABC (coroll. Ili), ma la parte interna del triangolo A'B’C 
è data dai raggi di ogni sno settore, ad es. A'B'C’, limitato al lato opposto 
(B'C) (def. I), i quali sono interni al triangolo ABC (coroll. Ili), e perciò tutti 
i punti del triangolo A'B'C sono interni al triangolo ABC eccettuati quelli si 
tuati sui lati di esso (def. I), e quindi il coroll. è dimostrato (def. II). 
Oss I. Un triangolo è determinato dalle tre rette dei suoi tre vertici (def. II, 9) 
e siccome due rette di un piano che si incontrano nel campo finito determinano in 
esso quattro settori angolari consecutivi due a due opposti (def. I. 50 e def, II, 46), 
così i tre lati del triangolo determinano due a due dodici settori angolari piani. 
Def. III. I tre settori piani ABC, BCA, CAB del triangolo ABC si chia 
mano settori (angoli) interni del triangolo ; e lasciando da parte i settori 
angolari (angoli) opposti ai primi tre, i rimanenti sei settori (angoli) deter 
minati nel piano dai tre lati (oss. I) si chiamano esterni al triangolo. 
Oss. II. Le rette del triangolo ABC separano dunque il piano in sette parti, cioè 
la parte interna, le tre parti opposte ai vertici degli angoli interni e le tre parti ri 
manenti di questi angoli. 
Def. IV. Le parti del piano limitate ciascuna da un lato del triangolo e 
dai prolungamenti degli altri due nel verso determinato su di essi a partire 
dal vertice comune opposto al lato dato, le chiameremo parti opposte dei settori 
piani (angoli) interni rispetto ai lati. 
Coroll. V. Se un punto è esterno al triangolo, una sola delle tre rette che 
lo congiungono coi vertici incontra il lato, opposto al vertice che essa contiene, 
in un punto interno. 
Se un punto E è interno al triangolo, vale a dire se è situato nella parte I 
interna al triangolo, le rette AE, BE, CE incontrano i lati (BC), [AC), [AB) 
in punti interni (coroll. I). Se invece il punto E è in una delle parti opposte 
ai vertici, ad es. nella parte II opposta al vertice A, la retta AE incontra il 
lato (BC) in un punto interno (coroll. I), mentre le rette BE, e CE non pos 
sono incontrare i lati (AG) e (AB) in punti interni, altrimenti il punto E sa 
rebbe un punto interno (coroll. II). 
La stessa cosa ha luogo se il punto E è situato in una delle parti opposte 
dei settori interni del triangolo rispetto ai lati (def. IV), ad es. nella parte II' 
opposta al settore BAC rispetto al lato BC (coroll. IV, teor. II, 50) (flg. 44). 
Teor. II. Se una retta del piano di un triangolo non passa per alcuno 
dei vertici e incontra un lato in un punto interno, incontra gli altri due l’uno 
in un punto interno e Taltro in un punto esterno. 
Scegliamo sopra uno dei lati, ad es. (BC), un punto F. Il settore piano FAC 
limitato dal segmento (FC) è tutto nella parte interna del triangolo dato (coroll. IV, 
teor. I), che si compone così delle parti interne dei due triangoli BAF, FAC. Il 
settore opposto ad AFC ha periati i raggi FB e il prolungamento di AF a partire 
da F, e quindi non ha all’infuori del segmento (FB) alcun altro punto comune 
col settore adiacente AFB, per essere il fascio di centro F nel piano (teor. Ili, 46) 
semplicemente chiuso, come ogni altro fascio (teor. I, 30). Ogni retta dunque