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Uguali denominazioni possiamo usare anche se le due rette r e r non 
sono parallele. 
Teor. I. Gli angoli alterni interni e alterni esterni che clue rette parallele 
fanno con una traversale sono uguali. 
Scegliendo un punto B sul raggio (AX W ) della retta r, il punto B' simme 
trico di B rispetto ad R sulla retta RB è situato sul raggio RB' opposto di 
RB contenuto nell’angolo X' M RA', e quindi il punto B' è sul raggio (A'X' M ) della 
retta r' (teor. I, II, 43). Ma i due triangoli BAR, B'A'R sono uguali, e quindi es 
sendo BAR = et,B'A'R = et' si ha: 
a—a' 
Similmente si ha 
ed essendo 
a = 8, /3 = y> et = 5', fi — y' 
si ha anche : 
Y — > y — y (teor. IY, 15) 
Ind. Un angolo piatto lo indicheremo anche con la lettera »r. 
Teor. IL Gli angoli corrispondenti interni o esterni, che due rette paral 
lele fanno con una trasversale comune, sono supplementari. 
Difatti si ha : 
et -f- /3 — et -f- /3 — tr 
ed essendo /3 = /3' 
ct+f = et -j-f—K (def. II, 38). 
Similmente 
8 -f- y ——• 8 -f- y — n 
Teor. III. Se due rette r e r formano angoli alterni interni uguali con 
una trasversale comune, esse sono parallele. 
Siano infatti A e Ai i punti d’incontro della trasversale con le due rette 
r e r, e siano X M , X' M ; Y M e Y' x i punti all’infinito di esse, in modo che i 
segmenti (AX^), (l'7J di r e r' siano situati dalla stessa parte di AA' (def. 1,50), 
e quindi i segmenti (AX'J, (A'Y'„) saranno situati nella parte opposta (coroll. II, 
teor. II, 50). Per ipotesi si ha: 
X^AA' = Y'^AÌA. 
stessa parte rispetto alla retta AA! (def. I, 50 e nota XLVIII), oppure sono situati da 
parti opposte. Nel primo caso i raggi AA l , A'A\ sono dello stesso verso rispetto alla 
retta AA (def.). I segmenti (AA'), (,A x Afj non possono avere alcun punto comune, al 
trimenti i punti A x e A\ sarebbero da parti opposte rispetto alla retta AA' (coroll. Ili, 
teor. li, 50 e XLVIII), e quindi, come si vede facilmente,^! e A' sono essi pure dalla 
stessa parte della retta A 1 A' 1 ; dunque i raggi A 1 A, A\A' ed anche i raggi opposti, 
cioè AA U A'A’ 1 , sono dello stesso verso rispetto alla retta A 1 A\. Per conseguenza, raggi 
paralleli di verso opposto rispetto alla retta A A' sono anche tali rispetto alla retta 
A\A \- 
Se invece A x e A x sono da parti opposte della retta AA', A e A' lo sono rispet 
to alla trasversale A X A\, e quindi i raggi A X A, A'A\ sono dello stesso verso rispetto 
alla retta AA' e anche rispetto alla retta AjA’j. Il teorema è dunque dimostrato.