Se r non è parallela alla retta r si può condurre a questa retta una pa 
rallela r" dal punto A', e si dovrà avere 
X x A A — X x A A 
vale a dire vi sarebbero due raggi (Y X A), (X' x A') che formerebbero lo stesso 
angolo col raggio A'A intorno ad A 1 e nella stessa parte di piano rispetto alla 
retta AA' a partire dal raggio A’A, ciò che non può essere essendo il fascio di rag 
gi un sistema semplicemente chiuso e per di più identico nella posizione delle 
sue parti (teor. I, def. I, 30 e teor. IH, 47). Dunque le due rette r e r devono es 
sere parallele, e perciò i punti X x e Y x , X' x e Y' x devono coincidere LI). 
53. Teor. I. Una retta che si appoggia ai lati eli una striscia piana la di' 
vide in due parti uguali. 
LI) Le dimostrazioni dei teor. I, II e III si possono rendere facilmente indipen 
denti dai punti all’ infinito, usando altri punti, mentre facendo uso del punto impro 
prio all’infinito (nota XL1V) le dimostrazioni resterebbero le stesse. 
Nel solo campo finito non si è ancora dimostrato in queste note che due an 
goli coi lati paralleli dello stesso verso sono uguali, ciò che risulta facilmente dalla 
considerazione dell’infinito (teor. I, 40). 
Questo teorema per angoli situati in un piano risulta dal teor. II. La dimostra 
zione si può dare nel seguente modo: 
Siano 13AC, 13'A C' i due angoli e sia (AB) # (A’B), (AAp # (A’AJ, e si congiun 
ga A con A ; si ha: 
BAA = BAD' ; CAA = CAD' (teor. II) 
ma 
BAA? = JÌaC CAA ; BAD' = BAC' + CAD' 
dunque 
BAC — BAC' (nota XLVI e int. £iv, 73) (flg. 46). 
Per dimostrare questo teorema in generale basta dimostrarlo nello spazio a tre 
dimensioni (vedi libro III), perchè due piani paralleli come 
sono A'B'C', ABC sono sempre contenuti, come vedremo, in 
uno spazio a tre dimensioni. E siccome nelle note contras- 
segnate dai numeri romani ci limitiamo al solo piano, così 
diamo qui la dimostrazione che bisognerebbe dare invece 
dopo la costruzione dello spazio suddetto. 
Data dunque la costruzione di questo spazio e definito 
il parallelismo di due piani si dimostra facilmente : 
L° che due piani paralleli sono tagliati da un terzo 
piano in rette parallele, mentre due rette parallele sono 
situate in un piano (coroll. IV, teor. V, 46 e nota XLV). 
2.* che segmenti paralleli compresi fra piani paralleli sono uguali. 
Poi si dà la seguente dimostrazione. 
La rette AB, A'B'; AC,A'C' sono situate rispettivamente in un piano (1°), ed es 
sendo (AAj) — (A'.l'j), si ha QM'Q # (AA'). Il piano A X A\ B taglia il piano AB'C se 
condo la retta A\B\ la quale è parallela alla retta A X B (1°). Immaginando condotto per 
AA un piano parallelo al piano A^BA^ si ha (AB) = (AB ) (2°), e perciò (BB‘) 
(coroll. I, teor. II, 43 e nota XXXVIII) da cui (A 1 2?)^(A. , 1 .B'). Inoltre, i triangoli ABA lf 
ABA\ sono uguali per averei tre lati uguali (teor. Ili, 17 e nota XII), e perciò i loro 
angoli corrispondenti BAC, BAC' sono uguali, come si voleva dimostrare (fìg. 46). 
Valendo il teor. suddetto nel piano colla stessa dimostrazione si può dare qui 
il teor. VI del n. 47.