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Nel secondo caso, l’angolo formato dal segmento (AA') col raggio di s 
compreso nel settore Y'^AX^ dà coll’angolo X^A'Y'^ una somma maggiore di 
due retti. Il teorema è dunque pienamente dimostrato, ritenendo che uno dei 
raggi sia precisamente (A'X K ) situato sulla retta r LII). 
§ 12. 
Segmenti e distanze di un punto dai punti di una retta. 
Distanza di due rette parallele. 
x 
fig. 48 
54. Teor. I. In ogni triangolo rettangolo gli angoli opposti ai cateti sono 
acuti. 
Sia ABC il triangolo rettangolo. Da A si conduca la perpendicolare AX 
alla retta AB (coroll. I, teor. V, 47), ed X sia un punto 
situato dalla stessa parte di C rispetto alla retta AB. 
Essendo BC parallela ad AX, i punti B e C sono situati 
dalla stessa parte rispetto alla retta AX (teor. I, 50). Sia 
inoltre Y un punto della retta AB dalla stessa parte di 
A rispetto a B. 
Se l’angolo BAC fosse ottuso, il raggio AC dovrebbe 
essere contenuto a partire da A nel settore YAX, vale 
a dire si potrebbe scegliere su di esso un punto C da 
parte opposta di C rispetto alla retta AX-, e prolungato il raggio AC dalla 
parte opposta di A esso dovrebbe essere contenuto nel settore retto opposto a 
BAX e non nel settore adiacente. Dunque il segmento (CC) dovrebbe incon 
trare la retta AX in un punto diverso da A (coroll. Ili, teor. I, 50) e le 
due rette AX e AC avrebbero due punti comuni, ciò che non è possibile 
(teor. II, 30 e conv. 28). 
Non può essere nemmeno che BAC sia retto, perchè dal punto C si po 
trebbero condurre due perpendicolari alla retta AB, ciò che è pure assurdo 
(coroll. I, teor. V, 47) (fig. 48) LUI). 
Def. I. Per segmento normale condotto da un punto R ad una retta r 
intenderemo quello determinato sulla perpendicolare passante per R alla retta 
r da R fino al suo punto d’incontro {piede) colla retta stessa. 
Per segmento obliquo intenderemo ogni altro segmento determinato da 
un punto della retta r col punto R. 
Teor. IL II segmento normale di un punto da una retta è minore di 
ogni segmento obliquo. 
Siano r la retta ed R il punto dati, (RM) il segmento normale, (#4) un seg- 
LII) Nel campo finito basta usare altri punti invece dei punti all’infinito per la 
dimostrazione dei teor. I e li. 
LIII) La dimostrazione del teorema I rimane tale e quale riferendosi agli stessi 
teoremi e all’ass. II', o usando l’ass. II anche al teor. III delia nota XI IV e al teor. 1,14.