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55. Teor. I. 
due. 
§ 13. 
Altre proprietà, dei triangoli. 
Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri 
X 1 
p"’ 
et c 
X" C H 
fig. 50 
Sappiamo già che un lato non può essere uguale alla somma degli altri 
due (teor. IV, 17); qui avremo una conferma di tale proprietà. 
Basta dare la dimostrazione per il lato maggiore, perchè ciascuno dei ri 
manenti è evidentemente minore della somma degli altri 
due. Sia ABC il triangolo, (AB) il lato maggiore; e sup 
poniamo che (Ai?) sia uguale o maggiore della somma 
degli altri due. In tal caso vi sono nel segmento (AB) 
due punti C' e C" (che nel primo caso coincidono) tali 
che (ÀC) = (AC'), (BC) = (BC). Se C' cadesse in (C"B) al 
lora si avrebbe (AB) = (AC') + (C'B) e (CB)<ff(C'B), e 
poiché (C"B)=(BC), (AB) sarebbe minore di (AC) -f (BC) 
contro l’ipotesi; dunque C cade nel segmento (AC'). 
Per un punto X del segmento (C*C") (e nel primo caso pel punto C stesso) 
conduciamo la perpendicolare XX' alla retta AB. In essa non vi è alcun punto 
il cui segmento con A sia uguale ad (AC) o minore di (AC') (teor. II, 54). Nè può 
esistere alcun punto P dalla parte opposta di A rispetto alla retta XX' 
pel quale il segmento (AP) sia uguale o minore di (AC). Invero indicato con 
P il punto d’incontro della retta (AP) con XX', P è interno al segmento (AP) 
(coroll. Ili, teor. II, 50), e siccome (AP')>(AX) (teor. II, 54), a maggior ra 
gione è (AP')XAC') e (AP)~g> (AC). 
Così dicasi rispetto al punto B e al segmento (PC') minore od uguale a (BX). 
Ora, dato il triangolo ABC, il punto C o dovrebbe giacere sulla perpen 
dicolare XX’, o da una parte o dall’altra di questa perpendicolare. Sulla perpen 
dicolare non può essere, come non può essere in nessuna delle parti del piano 
rispetto ad essa; e quindi è dimostrato che per resistenza del triangolo ABC, 
il lato (AB) deve essere sempre minore della somma degli altri due (flg. 50). 
Coroll. Ogni lato di un triangolo è maggiore della differenza degli alivi 
due : 
Sia 
(AP)>(PC)>(CA) 
Se fosse 
(CA)<(AP)-U?C) 
si avrebbe 
(CA) + (PC)<(AP) 
ciò che è impossibile. Nè può essere 
(CA) = (AB) — (BC) ■ 
perchè sarebbe 
(CA) A- (AB) = (PC) 
il che è pure assurdo.