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Lo stesso accade degli spazi (S 0 S 3 ) (<V?' 3 ). Di fatti se h 0 ,ì? 0 , C 0 ,i) 0 sono quat 
tro punti non situati in un piano di <S 3 , le quattro rette £ 0 4o, S 0 C 0 , S 0 D 0 
incontrano lo spazio S 3 in quattro punti A' 0 // n C y n D' 0 , perchè J 0 Z? 0 C o D o giacciono 
in (<S’ 0 <$ 3 ) come S' 3 (oss. I), e perciò lo spazio S 3 è contenuto nello spazio (S () S' :ì ) 
(teor. IV), ed ogni retta che congiunge So con un punto di S 3 è situata tutta nello 
spazio (S 0 S' 3 ) (teor. II). Si conclude che coincidono anche gli spazi (S 0 &' 3 ), (S' 0 8 3 ), 
e quindi anche (S 0 S 3 ), (S’ 0 S' 3 ). 
Coroll. Cinque punti indipendenti determinano un solo spazio a quattro 
dimensioni, il quale viene determinato da cinque qualunque dei suoi punti 
indipendenti '). 
§ 2. 
Intersezioni di rette, piani e spazi a tre dimensioni. 
Fascio di spazi. 
122. Teor. I. Una retta ed un piano dello spazio S 4 non si incontrano, e se 
si incontrano sono situati in uno spazio a tre dimensioni. 
Si considerino infatti cinque punti A 0 ,B w C 0 ,D 0 ,E Cj non situati in uno spazio 
S 3 dello spazio *S’ 4 ; la retta di due di essi non incontra il piano determina 
to dagli altri tre, perchè altrimenti i cinque punti sarebbero situati in uno spa 
zio a tre dimensioni determinato dal punto comune, da due punti del piano e 
da un altro punto della retta (coroll. teor. IV, teor. II, III, 82). 
Teor. II. Una retta ed uno spazio a tre dimensioni dello spazio S 4 si in 
contrano in un punto, se la retta non giace nello spazio. 
Siano infatti S 3 ed S, lo spazio e la retta dati (lig. 100). Su questa con- 
/ 
/Il 
s 3 
s. 
sideriamo un punto S () non situato nello spazio *S> 3 , ciò è 
sempre possibile perchè supponiamo che la retta per ipo 
tesi giaccia fuori dello spazio S 3 (int. def. VI, 13). Lo spa 
zio S 4 può essere generato dal punto e dallo spazio 
S 3 , ma tutte le rette passanti per <S\> in S 4 si ottengono 
congiungendo i punti di 5 3 con S 0 (teor. V, oss. I, 121), e 
perciò la retta S x incontra lo spazio S 3 in un punto T 0 . 
flg 100 Teor. III. Un piano S 2 e uno spazio a tre dimen 
sioni dello spazio S 4 si incontrano in mia retta. 
Si può dimostrare in modo analogo al precedente, oppure in quest’altro 
modo (flg. 100). 
Siano S 3 ed S 2 lo spazio ed il piano dati. Ogni retta di S 2 incontra S 3 in 
un punto; quindi la figura comune a S 2 e S 3 ha in S 2 un solo punto comune 
con ogni retta di S 2 ; essa è dunque una retta (teor. VI, 48). 
1) Come si vede le dimostrazioni di queste prime proprietà, sono analoghe a quelle date al n. 82 per 
10 spazio a tre dimensioni; cosi è di molte proprietà che incontreremo in seguito, parecchie delle 
quali, come ad es. quelle del teor. II e del teor. V, si ottengono da quelle dello spazio a tre dimen 
sioni scambiando alcuni enti fondamentali fra loro. Abbiamo dato per disteso queste dimostrazioni 
dapprincipio per farne meglio risaltare il confronto con quelle date nello spazio a tre dimensioni e 
11 carattere puramente geometrico di esse.