106 Kap. III. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.
Das Verfahren a) hat indes den Vorteil, dafs man für manche
Gröfsen, z. B. für die arithmetischen Mittel aus gleich genauen
Einzelbeohachtungen, die Gewichte bereits angehen kann, noch
ehe man die mittleren Fehler kennt.
Gewichte sind schärfere Wertmesser als Genauigkeiten, denn
diese hängen nur von der ersten Potenz, jene aber von dem Qua
drat der mittleren Fehler ab. Die Gewichte haben jedoch noch
eine wesentlichere Eigenschaft. Sie sind dem Nutzwert der Beob
achtungen oder Funktionen von Beobachtungen, denen sie zu
gehören, direkt proportional.
Eine direkte Beobachtung vom Gewicht 4 kann in Hinsicht ihrer
Genauigkeit das arithmetische Mittel von vier direkten Beobach
tungen vom Gewicht Eins ersetzen, sie darf also ebensoviel Mühe,
Zeit und Geld kosten als vier der letzteren Art, ohne unvorteilhaft
zu sein. Ein Verfahren aber, welches in derselben Zeit und mit
gleicher Mühe und Kosten zu einer Beobachtung vom Gewicht 4
führt, w r elche ein andres Verfahren zu einer Beobachtung vom
Gewicht Eins aufwendet, ist viermal so vorteilhaft als das zweite
(obwohl das erste nur die doppelte Genauigkeit des zweiten
ergibt). Denn erst der viermal wiederholte Aufwand des zweiten
Verfahrens würde ein Resultat liefern, das dem ersten an Genauig
keit gleichkäme. Als Beispiel betrachte man die Winkelmessung
mittels zweier Nonientheodolite, von deren Horizontalkreisen der
eine bei 18 cm Durchmesser bis auf 10", der andre bei 9 cm Durch
messer bis auf 20" ablesbar sei, bei übrigens gleicher und guter
Teilung sowie optischer Ausstattung.
Ein Ausgleichungsverfahren, welches den Unbekannten der Aus
gleichung das Gewicht 4 verleiht, ist viermal soviel wert als eines,
welches den Unbekannten das Gewicht Eins erteilt. Denn erst
die viermalige Wiederholung der ganzen Aufnahme samt Aus
gleichung würde den daraus hervorgehenden Unbekannten, resp.
den arithmetischen Mitteln ihrer vier Werte, die gleiche Genauigkeit
geben, welche die Unbekannten des ersten Ausgleichungsverfahrens
besitzen. Ein mangelhaftes Ausgleichungsverfahren verschwendet
also die Zeit, Mühe und Kosten, welche für gute Beobachtungen
aufgewandt wurden. Wie später bewiesen wird, erteilt die Methode
der kleinsten Quadratsummen den Unbekannten der Ausgleichung
gröfste Geivichte. Nach den Gewichten der Unbekannten, nicht blofs
nach den Quadratsummen der Verbesserungen, sind solche Aus
gleichungsverfahren zu beurteilen, welche von der Methode der