§ 2. Projektive Behandlung der Parallelen. 15 
rallelennetz in ein gleichgewundenes, bei einer Spiegelung in ein ungleich- 
gewundenes über. 
11. Zwei Parallelennetze. Damit ‘beweisen wir den Satz: 
Zwei ungleichgewundene Idar allelennetze haben stets ein reelles Paar 
absolut polarer Geraden gemein; aber auch nie mehr als dieses. 
Seien nämlich g und l zwei sich schneidende Strahlen beider Netze. 
cj sei eine der beiden Ebenen, die einen der Winkel (g, l) halbieren und 
auf der Ebene gl senkrecht stehen, 0 X ihr absoluter Pol. Dann geht durch 
die Spiegelung an co und 0 X die g in l über, also auch das rechtsgewundene 
Netz der g in das linksgewundene der l. Bei einer Spiegelung bleiben 
die Strahlen in co und diejenigen durch 0 X in Ruhe. Darum müssen die 
Strahlen beider Netze, die beziehungsweise in co liegen und durch 0 X 
gehen, zusammenfallen. Sie bilden das gemeinsame Paar absolutpolarer 
Geraden der beiden Netze, sind also zu g rechts-, zu l linksparallel. 
Mehr als diese beiden Geraden können die Netze aber auch nicht 
gemein haben. Läge nämlich eine Regelschar in beiden Netzen, so 
müßten ihre sämtlichen Strahlen untereinander zugleich rechts- und links 
parallel, also von unbestimmter Windung sein. Zwei Geraden unbe 
stimmter Windung schneiden sich aber entweder, oder sie schneiden 
gegenseitig ihre absoluten Polaren, oder sie sind absolutpolar. Die beiden 
ersten Fälle scheiden aus, weil die Parallelennetze elliptisch sind, also 
keine zwei Netzstrahlen sich in einem reellen Punkte schneiden, der dritte, 
weil die Beziehung absolutpolarer Geraden eindeutig ist. 
Ein Parallelennetz bestimmter Windung wird durch einen Strahl 
eindeutig festgelegt. Daraus folgt: Zwei gleichgewundene Parallelennetze 
können keinen reellen Strahl gemein haben. Und: Die Parallelennetze gleicher 
Windung erfüllen ein lineares System zweiter Stufe. Auf diesen Satz 
kommen wir in Nr. 17 eingehender zurück. 
Wir fanden oben, daß die windschiefe Involution, die von einem 
Parallelennetz getragen wird, den absoluten Polarraum in sich selbst über 
führt. Schließen wir diesen Paragraphen mit der Umkehrung: Wenn eine 
windschiefe Involution den absoluten Polarraum so in sich selbst überfuhrt, daß 
je zivei in der windschiefen Involution entsprechende Elemente in dem absoluten 
Polarraum konjugiert sind, so wird sie von einem Parallelennetz getragen. 
Das Trägernetz muß aus Paaren absolut polarer Geraden bestehen; 
denn, wenn die windschiefe Involution einen Strahl in Ruhe läßt, so kann 
sie auch seinen absolut polaren Strahl nicht verändern. Die absoluten 
Ebeneninvolutionen um zwei solche Strahlen gehören der Verwandtschaft 
an und schneiden in jeden Netzstrahl dieselbe Punktinvolution ein, näm 
lich diejenige, die zu der räumlichen Verwandtschaft gehört. Aus dieser 
Eigenschaft konstruierten wir aber gerade die Parallelennetze.