§ 3. Elementare Parallelensätze.
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gramme erster Art liefern; E, E' sind die Schnittpunkte gleich gewundener
Parallelen zu AB und AC, so daß AB EC, ABE'C Parallelogramme
der zweiten Art sind.
Auch von diesen Parallelogrammen zweiter Art lassen sich unschwer
elementare Sätze, weniger ähnlich dem Euklidischen Parallelogramm, nach-
weisen.
Ich beschränke mich auf die Bemerkungen: Die Diagonalen des
Parallelogramms zweiter Art haben die Länge j , sie sind parallel aber
in anderer Windung als die Gegenseitenpaare. Die Parallelogramme zweiter
Art führen daher auf Tetraeder mit lauter Paaren paralleler Gegenkanten.
Die Mannigfaltigkeit ist um eins geringer als diejenige der Parallelogramme
erster Art. Sind nämlich a, b zwei parallele Geraden, c eine beliebige
Treffgerade, so bestimmten a, b, c oo 1 Parallelogramme der ersten Art: ich
brauchte von den Stützpunkten der c auf a und b nur in parallelen Rich
tungen von a und b gleiche Strecken abzutragen, um die oo 1 Parallelo
gramme zu erhalten. Dagegen bestimmen a, b, c nur ein Parallelogramm
zweiter Art. Die beiden gesuchten Ecken auf a und b müssen von den
gegenüberliegenden, also von den Stützpunkten der c auf b und a die Ent
fernung y haben; sie werden von den absoluten Polarebenen dieser Punkte
ein geschnitten und sind dadurch eindeutig bestimmt.
17. Parallele Strahlenbüschel. Es liege ein Strahlenbüschel (A, a)
vor; ich will durch einen beliebigen Punkt AL' die rechtsgewundenen Parallelen
zu seinen Strahlen legen. (Fig. 10.)
Dazu kann ich so verfahren: Ich
suche die linksgewundene Parallele
p zu der Geraden q = AÄ, welche
in der Ebene a liegt. Ein beliebi
ger Strahl a von (A, cc) schneidet p
in P; ich trage auf p von P aus
die Strecke AÄ ab bis Pj und
zwar, wenn ich die Richtung AÄ
als positiv nehme und durch sie
nach Nr. 4 eine Richtung auf q fest
lege, nach der negativen Richtung. Dann ist nach Nr. 14 APP'Ä ein
Parallelogramm und a' — ÄP' ist zu a rechtsparallel. Daraus folgt:
Ziehe ich durch einen beliebigen Punkt die rechten (linken) Parallelen
zu den Strahlen eines Strahlenbüschels, so bilden sie wieder ein Strahlen
büschel.
Dasselbe ergibt sich, wenn ich die in einer Ebene liegenden Parallelen
zu den Strahlen des gegebenen Strahlenbüschels ziehe. Die sämtlichen
Fig. 10.