Full text: Synthetische Theorie der Cliffordschen Parallelen und der linearen Linienörter des elliptischen Raumes

§ 3. Elementare Parallelensätze. 
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gramme erster Art liefern; E, E' sind die Schnittpunkte gleich gewundener 
Parallelen zu AB und AC, so daß AB EC, ABE'C Parallelogramme 
der zweiten Art sind. 
Auch von diesen Parallelogrammen zweiter Art lassen sich unschwer 
elementare Sätze, weniger ähnlich dem Euklidischen Parallelogramm, nach- 
weisen. 
Ich beschränke mich auf die Bemerkungen: Die Diagonalen des 
Parallelogramms zweiter Art haben die Länge j , sie sind parallel aber 
in anderer Windung als die Gegenseitenpaare. Die Parallelogramme zweiter 
Art führen daher auf Tetraeder mit lauter Paaren paralleler Gegenkanten. 
Die Mannigfaltigkeit ist um eins geringer als diejenige der Parallelogramme 
erster Art. Sind nämlich a, b zwei parallele Geraden, c eine beliebige 
Treffgerade, so bestimmten a, b, c oo 1 Parallelogramme der ersten Art: ich 
brauchte von den Stützpunkten der c auf a und b nur in parallelen Rich 
tungen von a und b gleiche Strecken abzutragen, um die oo 1 Parallelo 
gramme zu erhalten. Dagegen bestimmen a, b, c nur ein Parallelogramm 
zweiter Art. Die beiden gesuchten Ecken auf a und b müssen von den 
gegenüberliegenden, also von den Stützpunkten der c auf b und a die Ent 
fernung y haben; sie werden von den absoluten Polarebenen dieser Punkte 
ein geschnitten und sind dadurch eindeutig bestimmt. 
17. Parallele Strahlenbüschel. Es liege ein Strahlenbüschel (A, a) 
vor; ich will durch einen beliebigen Punkt AL' die rechtsgewundenen Parallelen 
zu seinen Strahlen legen. (Fig. 10.) 
Dazu kann ich so verfahren: Ich 
suche die linksgewundene Parallele 
p zu der Geraden q = AÄ, welche 
in der Ebene a liegt. Ein beliebi 
ger Strahl a von (A, cc) schneidet p 
in P; ich trage auf p von P aus 
die Strecke AÄ ab bis Pj und 
zwar, wenn ich die Richtung AÄ 
als positiv nehme und durch sie 
nach Nr. 4 eine Richtung auf q fest 
lege, nach der negativen Richtung. Dann ist nach Nr. 14 APP'Ä ein 
Parallelogramm und a' — ÄP' ist zu a rechtsparallel. Daraus folgt: 
Ziehe ich durch einen beliebigen Punkt die rechten (linken) Parallelen 
zu den Strahlen eines Strahlenbüschels, so bilden sie wieder ein Strahlen 
büschel. 
Dasselbe ergibt sich, wenn ich die in einer Ebene liegenden Parallelen 
zu den Strahlen des gegebenen Strahlenbüschels ziehe. Die sämtlichen 
Fig. 10.
	        
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