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Erster Abschnitt. Synthetische Theorie der Cliffordschen Parallelen. 
Parallelen ein und derselben Windung zu den Strahlen eines Strahlen- 
büschels erfüllen also einen linearen Komplex; derselbe besteht aus oo 1 
Parallelennetzen der gleichen Windung. Greife ich von zwei beliebigen 
gleichgewundenen Parallelennetzen zwei sich schneidende Strahlen heraus, 
so bestimmen diese ein Strahlenbüschel und damit einen linearen Komplex, 
dem die gegebenen und noch oo 1 Parallelennetze der gleichen Windung 
angehören. Auf diese ausgezeichneten linearen Komplexe kommen wir noch 
zurück (s. Nr. 37), hier notieren wir nur den Satz, der die projektive Untere 
suchung der Parallelennetze abschließt: Die Parallelennetze gleicher Windung 
bilden eine lineare zweifache Mannigfaltigkeit. 
Sind in derselben Figur a, a t zwei beliebige Strahlen von (A, a), 
a', af ihre rechten Parallelen durch A und schneiden die ersten die Gerade p 
in P und P x , die letzten dieselbe Gerade p in P' und Pf, so folgt aus 
den windschiefen Parallelogrammen erster Art APP'A und iPjP/1', 
daß die beiden Dreiecke APP 1 und A P' Pf in allen drei Seiten, also auch 
in den Winkeln bei A und A übereinstimmen. Es gilt daher: Winkel 
mit parallel gerichteten Schenkeln derselben Windung sind gleich. 
18. Ein Satz von Study und Hjelmslev. Damit beweisen wir 
leicht einen von Hjelmslev und Study stammenden Satz. 1 ) 
a, b seien zwei windschiefe Geraden, h, h 1 ihre gemeinsamen Lote mit 
den Endpunkten AB, A X B V a und b seien rechtsgewunden und AB<C A i B 1 . 
Ich ziehe durch A die rechte und linke Parallele zu b, indem ich auf 
von B x aus die Strecke AB nach derselben Seite, auf welcher A x liegt, 
und nach der entgegengesetzten Seite hin ab trage bis B', B" und diese 
Punkte mit A verbinde durch b', b". Der Winkel A X AB' — (ab') wird 
dann gemessen durch die Strecke B'A X , er ist also gleich der Differenz 
der beiden extremalen Abstände von a und b, der Winkel A X AB "= (ab") 
ist gleich der Strecke A X B", also gleich der Summe derselben Abstände. 
Ziehe ich jetzt durch einen beliebigen Punkt P des Raumes die beiden 
rechten und die beiden linken Parallelen zu a und b, a x , b x , a\, b\, so ist 
nach dem vorigen Satze ^a x b x = ^.ab', = fCab". Es gilt also, 
indem ich die Untersuchung für linksgewundene Geraden a, b übergehe, 
der Satz: 
Ziehe ich durch einen beliebigen Punkt P des Baumes die rechten (a x , bf) 
und linken (a t , bf Parallelen zu zwei windschiefen Geraden a, b des Baumes, 
so ist der Winkel der beiden rechten Parallelen a x b t gleich der Differenz, 
der Winkel der linken fC «iG gleich, der Summe der beiden Abstände von 
1) Joh. Petersen (Hjelmslev), Géométrie des droites dans l’espace non 
euclidienne, Overs, o. d. kgl. danske vidsk. forhandlinger, 1900, p. 305. — Study, 
Jahresber. d. d. Math.-Ver., Bd. 11, p. 319. Am. Journ. of Math., Bd. XXIX, p. 130.