§ 4. Über die Bewegungen. 
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a und b, wofern a und b rechtsgewunden sind; sind a und b linlcsgewunden, 
so ist <£ a r b t die Summe, a,\b[ die Differenz der Abstände. 
19. Ein Satz über parallele und gleiche Strecken, u und a 
seien zwei ganz beliebige Ebenen mit der Schnittgeraden p. a, eine be 
liebige Gerade in a, schneidet p in A, a, ihre rechtsgewundene Parallele 
in a, schneidet p in A'. Dann sind die Strahlenbüschel A, a, A', u rechts 
parallel im Sinne von Nr. 17, denn a ist rechtsparallel zu a und der 
gemeinsame Strahl p ist es zu sich selbst. Nun sei q eine beliebige 
Linksparallele zu p and schneide a und a' in St und St'. Dann ist 
A2tSt'A' ein windschiefes Parallelogramm erster Art, denn wäre A'%' 
nicht zu .4SI rechtsparallel, so gäbe es zwei Parallele durch Ä, eine in 
dem Strahlenbüschel (Ä, u), und zweitens diejenige, welche den Zug 
A'A2iq, in welchem p und q schon linksparallel sind, zu einem wind 
schiefen Parallelogramm erster Art ergänzt. Darum ist AÄ = St SIL Alle 
Linksparallelen zu p werden also von u und u in zwei Punkten geschnitten, 
welche die Entfernung .4^4' haben. Das gilt dann insbesondere auch von 
der absoluten Polaren zu p\ die auf ihr eingeschnittene Strecke mißt aber 
den Winkel der Ebenen a, cd. Darum gilt folgender merkwürdige und 
wohl noch nicht beachtete Satz: 
Zwei beliebige Ebenen schneiden auf allen Strahlen der beiden zu ihrer 
Schnittgeraden gehörigen Parallelennetze gleiche Strecken aus; die Länge der 
Strecken ist dem Winkel der Ebenen gleich. Und dual: Zwei beliebige 
Punkte eines Strahles eines Parallelennetzes werden aus allen Strahlen des 
Netzes durch Eibenen projiziert, welche einen Winkel von konstanter Größe 
bilden, nämlich gleich dem Abstand der beiden Punkte. 
Ich erinnere daran, daß ich die in Nr. 9 gegebene Herleitung der 
Parallelennetze zu zwei absolutpolaren Geraden a, a' auch so formulieren 
kann: Die Parallelen bilden den Ort der Geraden, welche von jedem Paar 
senkrechter Ebenen durch a sowohl wie durch a' unter der Strecke ~ 
geschnitten werden. 
§ 4. Über die Bewegungen. 
20. Jede Bewegung ist eine Schraubung. Bleibt bei einer Be 
wegung ein Punkt, eine Ebene, eine Gerade in Ruhe, so gilt dasselbe von 
der zugehörigen absoluten Polarebene, dem absoluten Pol, der absolut 
polaren Geraden. 
Bleiben bei einer Bewegung alle Punkte einer Geraden in Ruhe, so 
verändern sich daher auch die Ebenen durch die absolutpolare Gerade 
nicht. Ich kann sagen: Eine Drehung um eine Gerade a ist zugleich eine 
Verschiebung längs der absolidpolaren Geraden a'\ die Verschiebungsstrecke 
ist gleich dem Drehwinkel.