24 Erster Abschnitt. Synthetische Theorie der Cliffordschen Parallelen. 
Jede Bewegung, die eine Gerade a in Ruhe läßt, ist eine Schraubung; 
sie ist auf eindeutige Weise 1 ) aus einer Drehung um a und einer Ver 
schiebung längs a zusammensetzbar. Drehung und Verschiebung sind als 
Spezialfälle unter den Schraubungen um eine Gerade enthalten. Drehung 
und Verschiebung an derselben Geraden sind vertauschbar. 
Wir unterscheiden rechtsgewundene und linksgeivundene Schraubungen. 
Eine Schraubung heißt rechtsgewunden, wenn der Drehsinn der Drehung 
und die Richtung der V er Schiebung, die sie zusammensetzen, in der Be 
ziehung einer positiven Windung stehen, linksgewunden, wenn sie in der 
Beziehung einer negativen Windung stehen. 
Eine Schraubung um eine Gerade a ist zugleich eine Schraubung 
um die absolutpolare Gerade a'. Der Drehwinkel der ersten Schraubung 
ist gleich der Verschiebungsstrecke der zweiten, die Verschiebungsstrecke 
der zweiten gleich dem Drehwinkel der ersten. Beide Schraubungen haben 
dieselbe Windung. Richtung und Drehsinn der zweiten Schraubung sind 
nämlich perspektiv zu Drehsinn und Richtung der ersten. Der Satz aber, 
daß Perspektive Windungen gleiches Vorzeichen haben (Nr. 10) war die 
Grundlage unserer Windungstheorie. Wir haben: 
Jede Schraubenbewegung rechter, linker Windung um eine Gerade a, 
ist zugleich eine Schraubung rechter, linker Windung um die absolutpolare 
Gerade a'. 
Bei jeder räumlichen Kollineation bleibt ein Koinzidenztetraeder in 
Ruhe. 1 2 3 ) Wenn seine Ecken und Ebenen nicht sämtlich reell sind, so sind 
sie paarweis konjugiert imaginär, also die Verbindungsgeraden bzw. Schnitt 
geraden sind jedenfalls reell. Es bleiben daher bei jeder Bewegung sicher 
zwei absolutpolare Geraden in Ruhe, und wir haben: 
Jede Bewegung ist eine Schraubung. 8 ) 
Ein Parallelennetz geht durch Bewegung in ein gleich gewundenes 
über. Darum bleiben bei einer Schraubung die zu den Achsen gehörigen 
Parallelennetze in Ruhe; wir schließen: Bei jeder Bewegung geht ein rechts- 
und ein linksgewundenes Parallelennetz in sich selbst über; es sind das die 
Parallelennetze zu den Achsen. 
21. Die Parallelverschiebung. Eine für die elliptische Geometrie 
charakteristische Bewegungsform tritt ein, wenn ich den Drehwinkel der 
Schraubung der Verschiebungsstrecke gleich mache. Ist nämlich in diesem 
Falle h die Anfangs-, h 0 die Endlage einer zu den Achsen a, a' der 
1) Eindeutig nur, wenn ich. Versehiebungsstrecke und Drehwinkel kleiner als 
wähle, sonst vierdeutig. 
2) Reye, Geometrie der Lage. Bd. II, p. 71. 
3) Lindemann, Über unendlich kleine Bewegungen usw., Math. Ann. 7, p. 73.