§ 4. Über die Bewegungen. 
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Schraubung senkrechten Geraden, schneiden li und h 0 die a und a in den 
Punkten A, A'; A 0 , A 0 ', so sind die Strecken AA 0 und A'A 0 ' zwei gleich 
lange gemeinsame Lote von h und /¿ 0 ; h und h 0 sind also parallel. Er 
richte ich in einem Punkte P von h das gemeinsame Lot von h und h Qy 
es schneide h 0 in P 0 , dann geht durch die Schraubung, deren Drehwinkel 
und Verschiebungsstrecke gleich AA 0 sind, P in P 0 über. Wir schließen 
daraus, daß die Verbindungsgerade der Anfangs- und Endlage jedes Punktes 
eine Parallele zur Achse ist, und zwar eine rechts- oder linksgewundene, 
jenachdem die Schraubung rechter oder linker Windung ist; denn da die 
Schraubung um a zugleich eine Schraubung gleicher Windung um a ist, 
so macht PP 0 im Fall einer rechtsgewundenen Schraubung zwei rechte 
Windungen an a und a perspektiv, im Fall einer linksgewundenen zwei 
linke. 
Daraus folgt weiter, daß hei einer solchen Bewegung nicht nur die 
Achsen a, a, von denen wir ausgingen, sondern alle Strahlen eines 
Parallelennetzes in Ruhe bleiben; die Achsen der Schraubung sind also 
in diesem Parallelennetz unbestimmt. Jeder Punkt des Raumes verschiebt 
sich auf dem durch ihn gehenden Strahl des Netzes um ein und dieselbe 
Strecke, jede Ebene dreht sich um die in ihr liegende Gerade des Pa 
rallelennetzes um ein und denselben Winkel. Drehwinkel und Ver 
schiebungsstrecke sind gleich. Wir nennen diese Bewegungen Parallel 
verschiebungen und fassen zusammen: 
Bei einer Parallelverschiebung läuft jeder Punkt auf einem Strahl eines 
Parallelennetzes, jede Ebene dreht sich um einen Strahl desselben Netzes. 
Drehwinkel und V er schiebungsstrecke sind allenthalben gleich. 
Wir unterscheiden, je nachdem das Grundnetz rechts- oder links 
gewunden ist, rechte oder linke Parallelverschiebungen. 
Projektiv betrachtet ist eine Parallelverschiebung eine windschiefe 
Kollineation, die von dem Parallelennetz getragen wird. Zu jedem Pa 
rallelennetz gehören der variabeln Größe der Verschiebungsstrecke ent 
sprechend oo 1 Parallelverschiebungen; jede windschiefe Kollineation, die 
von einem Parallelennetz getragen wird, ist eine Parallelverschiebung. 
Unter diesen ist auch eine windschiefe Involution enthalten. Wir er 
kennen daher die windschiefe Involution, durch die wir in Nr. 9 die ellip 
tischen Parallelennetze festlegten, als involutorische Parallelverschiebung, 
d. h. als eine Parallelverschiebung, bei der Verschiebungsstrecke und Dreh 
winkel gleich * sind. 
Bei einer rechten Parallelverschiebung bleibt jeder Strahl eines 
rechten Parallelennetzes in Ruhe, darum geht das zu ihm gehörige linke 
Parallelennetz in sich selbst über. Also: Bei einer rechten Parallelver- 
Vogt, Cliffordsche Parallelen etc. 
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