§ 1. Die Regelscharen zweiter Ordnung. 
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Strahlen untereinander und zur Achse a rechtsparallel sind; wir kommen 
auf die Cliffordsche Regelschar in Nr. 26 genauer zurück. Die erzeugte 
Fläche hat in jedem Punkte konstanten Abstand von a. Die Geraden der 
Leitschar sind daher zu a und untereinander ebenfalls parallel, und zwar 
linksparallel. Ich will aus dieser Bemerkung hier nur den Satz folgern-: 
Ziehe ich durch zwei Punkte P und P 1; die von einer Geraden a gleichen 
Abstand haben, die rechte bzw. linke Parallele zu a, so schneiden sich 
diese. 
Liegt eine beliebige Schraubung vor, bei der P, P 1 Anfangs- und 
Endlage eines Punktes sind, so sind sie gleichabständig von der Achse a 
der Schraubung. Die rechte Parallele zu a durch P und die linke durch 
P, schneiden sich in P 0 , die linke durch P und die rechte durch P t in Pf 
Dann ist PP q P x Pq ein windschiefes Parallelogramm erster Art. Ich kann 
daher den Punkt P nach P x bringen durch die Aufeinanderfolge einer 
rechten und einer linken Parallelverschiebung längs der Achse a. Da 
aber eine Schraubung um eine Achse durch die Anfangs- und Endlage 
eines Punktes bestimmt ist, andrerseits jede Bewegung durch eine Schrau 
bung dargestellt wird, so folgt: 
Jede Bewegung ist aus zwei ungleich gewundenen Parallelverschiebungen 
zusammensetzbar. Diese sind eindeutig bestimmt und untereinander ver 
tauschbar}) 
Zweiter Abschnitt. 
Die linearen Liniengebilde. 
§ 1. Die Regelscharen zweiter Ordnnng. 
23. Die Achsenverhältnisse. Eine gescharte Fläche zweiter Ord 
nung besitzt Polartetraeder nur von einem Typus 1 2 ): Zwei gegenüber 
liegende Kanten schneiden die Fläche imaginär, die vier anderen reell. 
Sie hat mit dem absoluten Polarraum (mindestens) ein stets reelles Polar 
tetraeder gemein 0, 0 lf M, 31', das Haupttetraeder; seine Ecken sind 
Mittelpunkte der Fläche, seine Ebenen nennen wir Hauptebenen, seine 
Kanten Achsen der Fläche. Unter diesen seien die beiden imaginär 
schneidenden 0 0 1 , MM' als elliptische, die anderen als hyperbolische Achsen 
bezeichnet. (Fig. 12.) 
Spiegelung an einem Mittelpunkt oder, was dasselbe ist, an einer Haupt- 
ebene, führt die Fläche in sich selbst über, indem die eine Schar mit der 
1) F. Klein, Math. Ann. 37. p. 548. 
2) Schröter, Oberflächen zweiter Ordnung und Raumkurven dritter Ordnung, 
Leipzig 1880, p. 160.