§ 1. Die Regelscharen zweiter Ordnung. 
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also 
I. 
t gOlA = tgOA < 
tg 0 1 A' l tgOA' ’ 
oder wenn ich die Länge der Halbachsen mit kleinen Buchstaben bezeichne 
OA = a, OA' = a', 0 1 A 1 = a t , 0 1 A[ = a[: 
tg« t = tg « _ 
tg «i tga 
Die Tangenten der Halbachsen der in den Hauptebenen co und co 1 
liegenden Kegelschnitte haben gleiches Verhältnis. 
Aus der Produktform: 
tg °iA ■ tg OA' = tg OA • tg 0 1 A' 1 
r. 
folgt: 
Die vier Scheitelstrahlen jeder Schar haben gegen die Achse 0 0 1 (und 
ebenso gegen jede) gleichen Parameter; der Parameterwert für beide Scharen 
unterscheidet sich nur durch das Vorzeichen. 
Ist umgekehrt 0, 0 1} M, M' ein absolutes Polartetraeder, liegen in 
den Ebenen co und zwei Kegelschnitte, deren Scheitel A, B, Ä, H 
bzw. A 1} B ly A[, B[ auf den Kanten des Tetraeders liegen, so ist das 
Bestehen der Relation I. hinreichende Bedingung dafür, daß sie die Haupt 
kegelschnitte eia er gescharten Fläche zweiter Ordnung sind. Aus I kann 
ich nämlich direkt schließen, daß die Geraden AA X und A'A[ die Achse OO t 
in demselben Punkte S schneiden, daß also die Geraden AA[, A'A 1 in 
einer Ebene liegen. Ebenso folgt weiter, daß jede der vier Scheitelver 
bindungsgeraden A t A', A\B, B l B\ B[A jede der vier anderen A^B', 
A[A, B y A', B[B schneidet, was zum Beweise genügt. 
24. Parallelkegel. Ziehe ich durch einen beliebigen Punkt P die 
Parallelen bestimmter Windung, z. B. der rechten, zu den Strahlen einer 
Regelschar, so bilden sie einen Kegel zweiten Grades. Ich beweise, daß 
in jedem Strahlenbüschel durch P zwei Strahlen des Ortes liegen. Ein 
solches Strahlenbüschel bestimmt nämlich nach Nr. 17 einen linearen 
Komplex von Strahlen, die zu den seinen rechtsparallel sind Der lineare 
Komplex hat mit der Regelschar zwei Strahlen gemein — der .Fall, daß 
er sie ganz enthält, wird später besprochen — und also hat auch das 
Strahlenbüschel mit dem Kegel zwei Strahlen gemein. Zu den beiden 
Regelscharen einer gescharten Fläche zweiter Ordnung gibt es durch einen 
beliebigen Punkt im ganzen vier Parallelkegel. 
Wähle ich aber einen Mittelpunkt O x der Fläche, so gilt: Durch 
Spiegelung an O t geht eine Gerade g der einen Schar in eine l der 
anderen über. Dann gibt es aber nach Nr. 11 durch O x eine Gerade p,