§ 1. Die Regelscharen zweiter Ordnung. 31 
dasselbe ist, die Kosinus ihrer halben Öffnungswinkel stehen in demselben 
Verhältnis. 
25. Konstruktion der Pläche aus den Parallelkegeln. Zwei 
beliebige koaxiale Kegel sind daher nicht Parallelkegel einer gescharten 
Fläche zweiter Ordnung. Die Bedingung III aber ist eine hinreichende 
Bedingung dafür. II' liefert eindeutig die Halbachsenpaare aa', a t a[ 
zweier Kegelschnitte. Lege ich den ersten in die Ebene co, den zweiten 
in die Ebene co x , so folgt für diese beiden Kegelschnitte durch Rück 
rechnung von III her die Bedingung I, d. h. sie sind Hauptkegelschnitte 
einer gescharten Fläche zweiter Ordnung; daß sie die gegebenen Kegel zu 
Parallelkegeln hat, lehrt die umgekehrte Betrachtung. 
Aber auch wenn ich den zweiten Kegelschnitt in co, den ersten in co,. 
lege — natürlich immer so, daß die Halbachsen a, a x immer auf den 
nach M, die a, a[ auf den nach M' gehenden Tetraederkanten liegen — 
erhalte ich eine Fläche der gewünschten Art. Es folgt: 
Zivei konzentrische und koaxiale Kegel, für ivelche die Kosinus der 
Halbachsen der von ihnen in die absolute Polarebene der gemeinsamen 
Spitze eingeschnittenen Kegelschnitte, d. h. die Kosinus der halben Öffnungs 
winkel in demselben Verhältnis stehen, sind Parallelkegel für zwei bestimmte 
gescharte Klächen zweiter Ordnung, welche die gemeinsame Spitze der Kegel 
zum Mittelpunkt, ihre gemeinsamen Achsen selbst zu Achsen haben. 
Die beiden Parallelkegel können nicht zusammenfallen, ohne daß die 
Fläche zweiter Ordnung ausartet. Die Bedingung III wäre zwar erfüllt, 
aber II' lehrt, daß die gescharte Fläche mit dem gegebenen Kegel iden 
tisch wird. 
Wir können nun den Kegeln alle mit III vereinbaren Gestalten geben 
und haben damit ein Mittel, die gescharten Flächen zweiter Ordnung 
unter dem Gesichtspunkt der Parallelentheorie zu untersuchen: 
26. Die Clifforclsche Fläche. Ist einer der beiden Kegel rotatorisch, 
a = a, so ist es der andere auch c -= C08fl ” = 1. Die Hauptkegel- 
cos a cos a 0 
schnitte der zugehörigen Flächen (co) und (coj werden Kreise; die Invo 
lution von Ebenen durch OO x , die bezüglich der Fläche konjugiert sind, 
wird mit der absoluten identisch; das Haupttetraeder wird unbestimmt 
unter allen absoluten Polartetraedern, welche 0 und O x zu Ecken haben. 
Hie Regelscharen sind rotatorisch, sie gestatten alle Drehungen um 0 0 1 , 
alle Schiebungen längs MM'. 
Insbesondere kann der eine Kegel zur Achse OO x zusammenschrumpfen, 
a = a' = 0, während der andere ein beliebiger Rotationskegel um diese 
Achse bleibt. In diesem Falle werden die Kegelschnitte (co) und (co 1 ) 
gleich große Kreise, es gibt nur eine Fläche, welche die gegebenen