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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
Kegel zu Parallelkegeln hat. Diese trägt eine Schar von Strahlen, die 
zur Achse sämtlich rechtsparallel sind, und eine, deren Strahlen zur Achse 
links parallel laufen. Sie heißt Gliffordsche '¡Fläche. 
Jede Parallele zur Achse hat an allen Punkten denselben Abstand 
von der Fläche. Je zwei Strahlen verschiedener Scharen haben einen 
Punkt gemein. Darum hat die ganze Fläche allenthalben konstanten Ab 
stand von der Achse 00 1 und dann natürlich auch von ihrer absoluten 
Polaren MM'. Sie trägt also zwei Scharen von Kreisen mit konstantem 
Radius, die Ebenen der einen Schar stehen auf 00 1 senkrecht, gehen 
also durch MM', die der anderen Schar stehen auf MM' senkrecht, 
gehen also durch 0 O i . 
Die Cliffordsche Fläche gestattet daher sowohl alle Drehungen um die 
Achse OO i , wie um die Achse MM', d. h. alle Schraubungen um diese 
Achsen. Läßt eine Fläche oo 2 Bewegungen in sich zu, so gestattet sie 
nach einem bekannten Satze von v. Mangoldt 1 ) deren oo 3 . Aus der Existenz 
der zweigliedrigen Untergruppe der Schraubungen ist dann zu schließen, 
daß die dreigliedrige Gruppe mit der Gruppe der Euklidischen Bewe 
gungen identisch ist, daß also auf der Cliffordschen Fläche die Euklidische 
Geometrie herrscht. 2 ) 
Das absolute Polartetraeder, von dem wir ausgingen, hat seine Sonder 
stellung verloren: Alle absoluten Polartetraeder, die nur ein Paar von 
Gegenkanten auf den Geraden OO i , MM' liegen haben, sind zugleich 
Polartetraeder der Fläche, die Involutionen konjugierter Punkte und 
Ebenen auf und um diese Achsen sind mit den absoluten identisch. 
27. Projektive Erzeugung. Projektivisch kann ich Cliffordsche 
Regelscharen immer, wie folgt, erzeugen: a, b seien zwei Parallele, ihre 
Punktreihen setze ich in eine projektivisch gleiche Beziehung, nur so, daß 
durch die Projektivität parallele Richtungen (Nr. 13) entsprechend werden. 
Der Ort der Verbindungsgeraden entsprechender Punkte ist eine Regel 
schar, deren Strahlen unter einander in der zu a, b entgegengesetzten 
Windung parallel sind, weil sie zu je zweien mit a und b zusammen ein 
windschiefes Parallelogramm erster Art bilden (vgl. Nr. 14). 
Ein solcher Ort ist z. B. die Schar der gemeinsamen Lote von a und b. 
Enthält andrerseits eine Regelschar drei untereinander parallele Ge 
raden, so liegt sie ganz in dem Parallelennetz, das diese bestimmen. 
Folglich schrumpft der eine Parallelkegel in eine einzige Gerade zusammen, 
alle Strahlen der Leitschar sind zu dieser in der anderen Windung pa- 1 2 
1) H. v. Mangoldt, Über die Klassifikation der Flächen nach der Verschiebbar 
keit ihrer geodätischen Dreiecke. Cr eil es J. Bd. 94. p. 21. 
2) F. Klein, Math. Ann. 37, p. 553.