§ 1. Die Regelscharen zweiter Ordnung. 
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Begrenzungsstrahlen dieses Strahlenbüschels die Parallelen zu den Doppel 
elementen in beiden Parallelinvolutionen abgeben; die Doppelelemente 
selbst sind die von A und B ausgebenden Scheitelstralilen. 
Durch die Eigenschaft, daß ihre sämtlichen Strahlen zu den Strahlen 
eines Strahlenbüschels parallel sind, treten diese Flächen in "V erwandtschaft 
mit den hyperbolischen Paraboloiden des Euklidischen Raumes. Wir wollen 
auch diesen Namen zur kurzen Bezeichnung anwenden. 
30. Das gleichseitige hyperbolische Paraboloid. Es können 
auch beide Parallelkegel durch O t gleichzeitig in Strahlenbüschel ausarten. 
Sei wieder a = 0 und a' von festem beliebigen Werte; nur a' = 0 und 
a' = g schließe ich aus, weil das erste die Clifforclsche Fläche und das 
zweite die Ausartung der Fläche in ein Strahlenbüschel bewirkt. Dann 
muß nach III = 1 , sein. Ist auch a n = 0, so sind beide Kegel 
coscto cos a u 7 ° 
in das Strahlenbüschel in der Ebene O x OM' zusammengefallen mit dem 
gemeinsamen Öffnungswinkel cf = öj; die Fläche zweiter Ordnung artet 
in dasselbe Büschel aus. kann nicht null werden; daß also das zweite 
Strahlenbüschel in die andere Hauptebene durch 0 0 1 fällt, ist nicht mög 
lich. Als einzige Möglichkeit bleibt O 0 = = ^, d. h. das zweite Strahlen 
büschel fällt in die Ebene oo 1 . Es gibt Flächen zweiter Ordnung, auf welchen 
jede Schar eine Involution rechts- und eine Involution linksparalleler Strah 
len trägt. In jeder Schar ist dann stets die eine Involution elliptisch, die 
andere hyperbolisch. Ist in der einen Schar die Involution rechtsparalleler 
Strahlen elliptisch, so ist es in der anderen diejenige der linksparallelen. 
Die elliptische und die hyperbolische Involution in einer Schar haben 
bekanntlich stets ein reelles Paar gemein. Die Strahlen dieses Paares 
sind zueinander zugleich rechts- und linksparallel, also absolutpolar. In 
jeder Schar liegt ein Paar absolutpolarer Geraden. 
Diese merkwürdige Fläche trägt oo 2 -Parallelogramme erster Art, 
ebensoviele zweiter Art und ein in sich absolutpolares windschiefes Vier- 
seit. Sie tritt vermöge dieser letzten Eigenschaft in der elliptischen 
Geometrie durchaus an die Stelle des Euklidischen gleichseitigen hyper 
bolischen Paraboloids; wir wollen sie auch so nennen. 
Enthält eine Begelschar ein Paar absolutpolarer Geraden, so liegt sie 
auf einem gleichseitigen hyperbolischen Paraboloid. 
Die Leitschar vermittelt auf den absolutpolaren Geraden eine Pro- 
jektivität. Diesmal liefern beide Systeme entsprechend gleicher Strecken 
Rechtecke, weil zwei absolutpolare Geraden sowohl rechts- als linksparallel 
sind. Die Leitschar trägt also sowohl eine Involution rechts-, wie eine solche 
linksparalleler Strahlen. Danach gilt dasselbe auch von der Regelschar.