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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
31. Der Parameter des gleichseitigen Paraboloids. Es gilt 
der Satz: Der Parameter aller Strahlen einer Schar eines gleichseitigen 
hyperbolischen Paraboloides bezüglich der beiden Diagonalen des auf ihm 
liegenden absolutpolaren Vierseits ist konstant; für die zweite Schar hat der 
Parameter denselben Wert mit entgegengesetztem Vorzeichen. 
P, Q, B,S sei das auf der Fläche liegende absolutpolare Vierseit. 
(Fig. 14). PQ = a, BS = a' und QP = b, SP=b' sind Paare absolut 
polarer Geraden. Orientiere ich a und a' 
' durch zwei rechte Perspektive Windungen 
und bestimme jeden Punkt X von a durch 
den Tangens seines Abstandes von P ge 
nommen in der Richtung PX, desglei- 
chen jeden Punkt X' von a' durch den 
Tangens seines Abstandes von B genom 
men in der Richtung X'B, so kann ich, 
wenn ich diese Koordinaten noch bzw. 
mit X und 1' bezeichne, die Projektivi- 
tät, welche die auf a, a gestützte Schar 
auf diesen Geraden hervorruft ausdrücken 
durch die bilineare Relation XX' + pX -j- gl' -}- r = 0. Weil aber P, S 
und Q,B entsprechende Elemente sind, so vereinfacht sie sich zu XX’= r, 
tg PX • tgX'B = r. 
Das ist gerade der Parameter des die Punkte XX' verbindenden 
Regelstrahles gegen die Diagonale PB des Vierseits. 
Die Diagonalen PB und QS sind zugleich bezüglich der Fläche und 
des absoluten Polarraumes polar; sie sind also Achsen der Fläche. Daß 
der Parameter der anderen Schar sich nur durch das Vorzeichen unter 
scheidet, folgt aus dem Umstand, daß die beiden Scharen durch Spiegelung 
an den durch die Achse PB, gehenden Hauptebenen der Fläche ineinander 
übergehen. Wir schließen daraus zugleich: Alle Geraden einer Schar eines 
gleichseitig hyperbolischen Paraboloids haben gegen das Paar absolutpolarer 
Geraden der Schar dieselbe Windung. 
Ist wieder XX' eine beliebige Gerade der Schar und sei sie gegen 
o o Ö 
PS rechtsgewunden. Dann sind in der Projektivität zwischen a und a' 
die Strecken PX, SX' und QX, BX' entsprechend. Jeder Strahl der 
Schar, der auf diesen Strecken von a und a fußt, ist gegen XX' rechts 
gewunden. Darum kann die linke Parallele zu XX’ diesen Teilen der 
Regelschar nicht angehören, sie muß vielmehr von XX' durch PS und 
QB getrennt werden. Wenn aber zwei Paare der Involution linksparalleler 
Strahlen sich trennen, so ist die Involution elliptisch; alsdann ist die 
Involution rechtsparalleler Strahlen hyperbolisch, und wir haben: