§ 2. Der lineare Komplex. 
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In einer Regelschar eines gleichseitigen hyperbolischen Paraboloids, deren 
Strahlen gegen das Paar absolutpolarer Geraden rechtsgewunden sind, ist 
die Involution rechtsparalleler Strahlen die hyperbolische, diejenige links 
paralleler Strahlen die elliptische. 
§ 2. Der lineare Komplex. 
32. Die Achsen des linearen Komplexes. Wir wenden uns zur 
Untersuchung des linearen Komplexes. Seine projektiven Eigenschaften 
setzen wir dahei als bekannt voraus. 1 ) Eine auf Chasles 1 2 ) zurückgehende 
Erzeugungsweise ist z. B. die folgende: Ich lege in einer Regelschar eine 
Involution fest und suche den Ort der Strahlen, die solche Geraden der 
Regelschar schneiden, welche ein Paar der Involution bilden. Wir werden 
aus der Eigenschaft: Durch jeden Punkt geht ein Büschel von Komplex 
strahlen, in jeder Ebene liegt ein solches, die in der Euklidischen Geometrie 
wohl bekannten Verhältnisse der Achse, der Windung, der Durchmesser 
des Komplexes nachweisen und schließlich einen besonderen linearen 
Komplex finden, der oo 4 -Bewegungen in sich zuläßt, ein Typus, der in 
der Euklidischen Geometrie nur in dem ausgearteten Komplex auftritt, 
dessen Strahlen sämtlich zu einer Ebene parallel sind. 
Ordne ich jedem Punkte des Raumes die Ebene des Büschels von 
Komplexstrahlen zu, das ihn selbst zum Scheitel hat, so entsteht eine 
involutorische Korrelation, ein Nullsystem. Mit Rücksicht auf dieses 
mit dem Komplex verbundene Nullsystem nenne ich die Strahlen des 
Komplexes auch Nullstrahlen. Wie ich zwei Strahlen, die in dem absoluten 
Polarraum entsprechend sind, absolutpolar nannte, so will ich zum Unter 
schied zwei Strahlen, die in dem Nullsystem einander entsprechen, null 
polar nennen. Die Nullstrahlen sind zu sich selbst nullpolar. 
Bilde ich einen linearen Komplex G durch den absoluten Polarraum 
ab, so geht er in einen linearen Komplex G x über, seinen absolutpolaren. 
G und G l haben, wenn sie nicht zusammenfallen — worüber später —, 
ein Strahlennetz gemein. Die Leitgeraden des Netzes sind sowohl be 
züglich G wie bezüglich G 1 nullpolar, und obendrein, weil das Netz durch 
die absolute Polarität in sich selbst übergeht, zueinander absolutpolar. 
Ein elliptischer Polarraum hat nur reelle Paare polarer Geraden; daraus 
schließe ich 3 ): 
1) Sturm, a. a. 0., I. p. 62—110. Literatur über den linearen Komplex in der 
nicht Euklidischen Geometrie, s. p. 175, Anmerkung. 
2) Sturm, a. a. 0., I. p. 102. 
3) D’Ovidio, Teoremi sui complessi liueari nella metrica projettiva, Rend. 
dell’ Istituto Lombardo II 14 , p. 405. — Lindemann, Über unendlich kleine Be 
wegungen ubw., Math. Ann. 7, § 1.