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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
selben Parameter p; ivir nennen ihn Parameter des linearen Komplexes. 1 ) 
Der Parameter der Komplexstrahlen gegen die andere Achse ist dann — • 
Umgekehrt gilt: Alle Strahlen, welche gegen eine Gerade a konstanten 
Parameter haben, erfüllen einen linearen Komplex mit a als Achse. 
Jenachdem das Vorzeichen des Parameters positiv oder negativ ist, sind 
sämtliche Komplexstrahlen gegen die Achse rechts oder links gewunden. 
35. Nullpolare Geraden, b ist eine beliebige Gerade, h,h i sind 
ihre gemeinsamen Lote mit a (Fig. 16), A, P- A 1 B l deren Fußpunkte. 
h, \ sind Nullstrahlen. Es sei dann c der Nullstrahl 
I ' h durch B, der \ trifft in Bf, e derjenige durch B lf 
der li trifft in B', dann ist B'Bf die nullpolare Ge 
rade V von b. Die Nullstrahlen c, e liefern aber: 
a 
Also für zivei nullpolare Strahlen besteht die Gleichung: 
II. tg [ab] ■ tg[b'a\ = tg[ab'] • tg [ba\ = p, 
welche zu einem Strahl b seinen nullpolaren ein 
deutig finden läßt; sie gilt dem Vorzeichen nach, wenn 
ich die Richtung auf den gemeinsamen Loten festlege 
in der bekannten Weise. 
A 
Fig. IG. 
36. Parallelen im Komplex. Die Gleichung II bestätigt, daß ein 
Durchmesser wieder in einen Durchmesser desselben Netzes übergeht, 
denn ist [ad] = fr[da\, so ist notwendig auch [ad'] = Az[d'a] XJ welches 
Vorzeichen auch p haben mag. Sie fügt hinzu: Bei positivem Para 
meter p werden zwei nullpolare Durchmesser d r , df des rechtsgewundenen 
Netzes von a und a' in der alle vier Strahlen enthaltenden orthogonalen 
Cliffordschen Schar eingeschlossen, zwei nullpolare Strahlen des links 
gewundenen Netzes d v d{ werden von a, a' getrennt. Bei negativem Para 
meter ist es umgekehrt. 
Gleichung II stellt in dem Büschel von Cliffordschen Flächen, 
welche a, a zu Achsen haben, eine Involution her. Zwei Flächen sind ent-' 
sprechend, deren Abstände r,r' von a die Bedingung erfüllen tgr • tgr' = jp . 
Die beiden rechtsgewundenen und die beiden linksgewundenen Scharen 
zweier solchen Flächen gehen nullpolar ineinander über. 
Die Involution hat zwei Doppelelemente, eines ist das Achsenpaar 
selbst, das andere ist die Fläche mit dem Radius tg r=y\p\. Ist p 
positiv so sind die Strahlen der rechtsgewundenen Schar zu sich selbst 
nullpolar, also Komplexstrahlen, während in der linksgewundenen Schar 
1) D’Ovidio, a. a. 0., p. 413.