§ 2. Der lineare Komplex. 
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die diametral gegenüberliegenden d. h. die von derselben durch a und a' 
gehenden orthogonalen Cliffordschen Fläche getragenen Strahlen zu 
einander nullpolar sind; bei negativem p ist es umgekehrt: 
Jenachdem der Komplex sich rechts oder links um die Achsen windet, 
gibt es eine rechte oder eine linke Durchmesserregelschar, deren Strahlen Nidl- 
strahlen sind; sonst ist kein reeller Durchmesser in dem Komplex enthalten. 
Fragen wir nach Cliffordschen Scharen, die im Komplex enthalten 
sind, g sei ein beliebiger Strahl des Komplexes. Auf g stützt sich eine 
Regelschar des rechten und eine des linken Durchmessernetzes. Wenn 
ein Nullstrahl eine von zwei nullpolaren Geraden schneidet, so schneidet 
er auch die andere. Darum müssen die beiden Durchmesserregelscharen, 
aus Paaren nullpolarer Geraden bestehen. Dann bestehen aber die Leit 
scharen, die ebenfalls Cliffordisch sind, aus lauter Nullstrahlen, weil jede 
Treffgerade zweier nullpolaren Strahlen ein Nullstrahl ist. Daraus folgt: 
Jeder Komplexstrahl bestimmt eine ganz im Komplex enthaltene Parallel 
regelschar rechter und eine linker Windung. Die Leitschar gehört bezüglich 
dem linken und rechten Durchmessernetz an. Die im Komplex enthaltenen 
Parallelregelscharen rechter (linker) Windung erfüllen ein lineares System 
zweiter Stufe. 
37. Der Parallelkomplex. Für p = 0 ist der lineare Komplex 
ausgeartet in den Inbegriff der Treffstrahlen der Achse a, für p = oo in 
den Inbegriff' der Treffstrahlen der Achse a . Ein interessanter Fall aber 
tritt ein für p — ff; 1. Vom Vorzeichen hängt nur die Windung ab; ich 
behandle p = -f- 1. 
d t sei ein Durchmesser linksparallel zur Achse, [a d) ist dann gleich 
\d l a\, aber von entgegengesetztem Vorzeichen. Aus der Gleichung 
tg[a^] • ig[d[a\ = tg[adi] ■ tg[^a] 1 = 1 schließen wir [d[a] = — (f ~ 
d. h. d t und dl sind Parallele vom Abstand ^; sie sind daher absolut 
polar. Also nicht bloß das Achsenpaar, von dem wir ausgingen, sondern 
jedes nullpolare Paar von linksgewundenen Durchmessern ist zugleich ab 
solut polar. 
Der lineare Komplex mit dem Parameter -j- 1 hat oo 2 Achsenpaare; 
diese erfüllen ein linksgewundenes Parallelennetz (für p = — 1 ein rechts 
gewundenes). 
Wir wollen diese Art linearer Komplexe als Parallelkomplexe be 
zeichnen. 
Suchen wir den Parameter des Komplexes bezüglich eines anderen 
seiner oo 2 Achsenpaare, so finden wir immer wieder den Wert -f- 1 bzw. — 1. 
Alle Achsenpaare sind daher gleichwertig. 
Aus der Existenz von oo 2 Paaren absolutpolarer Geraden, die zu- 
Vogt, Cliffordsche Parallelen etc. 4