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Zweiter Abschnitt. Die linearen Liniengebilde. 
gleich nullpolar sind, folgt, daß der Komplex mit seinem absolutpolaren 
zusammenfällt, daß er also durch den absoluten Polarraum in sich seihst 
übergeht, und daß umgekehrt der absolute Polarraum von dem Nullsystem 
eines Parallelkomplexes in sich selbst übergeführt wird. 
Ist andrerseits ein linearer Komplex mit seinem absolut polaren 
identisch, so muß das zugehörige Nullsystem mehr als ein Paar absolut 
polarer Strahlen zu nullpolaren Strahlen haben, woraus man leicht den 
Parameterwert + 1 ableitet. Es gilt daher nicht nur: Der Parallelkomplex 
wird von dem absoluten Polarraum in sich selbst übergeführt, sondern auch: 
Jeder lineare Komplex, der von dem absoluten Polarraum in sich selbst 
übergeführt wird, ist ein Parallelkomplex. 
Mit den oo 2 Achsenpaaren ist der Parallelkomplex als Ort der Strahlen 
erkannt, welche die Strahlen eines Parallelennetzes, des Achsennetzes, senk 
recht schneiden. Wir weisen auch unschwer jeden solchen Ort als linearen 
Komplex nach. Da nämlich eine Gerade mit allen untereinander paral 
lelen Geraden, welche sich auf sie stützen, gleiche Winkel bildet, so 
schneidet sie alle Strahlen des Achsennetzes rechtwinklig, wenn sie auf 
einer senkrecht steht. Die Ortsstrahlen durch einen beliebigen Punkt er- 
füllen also gerade das Strahlenbüschel, das auf dem durch den Punkt 
gehenden Strahl des Achsennetzes senkrecht steht. 
Ist g ein Strahl des Ortes, g' zu ihm linksparallel, so schneidet g die 
ihn treffenden Strahlen des Achsennetzes rechtwinklig; weil aber Winkel 
mit gleichgewunden parallelen Schenkeln gleich sind, so steht g' auch 
auf allen Strahlen des Achsennetzes senkrecht, die ihn schneiden, gehört 
also ebenfalls zu dem Ort. Der Ort besteht daher aus den sämtlichen 
linksgewundenen Parallelen zu den Strahlen eines seiner Strahlenbüschel: 
Ein linearer Komplex mit dem Parameter + 1 wird von oo 1 links- 
bzw. rechtsgeivundenen Parallelennetzen erfüllt}) 
Diese Art von linearen Komplexen trat schon in Nr. 17 auf. 
Ist b eine beliebige Gerade des Raumes, so stützt sich auf sie von 
irgendeinem im Komplex enthaltenen Parallelennetz eine linksgewundene 
Cliffordsche Schar. Die nullpolare Gerade b' muß in der zugehörigen 
Leitschar enthalten sein, ist also zu b rechtsparallel. Bei dem Para 
meter -j- 1 sind je zivei nullpolare Geraden rechtsparallel. Jedes rechts 
gewundene Parallelennetz ist zu sich selbst nullpolar. Daraus folgt 
weiter: Jeder Parallelkomplex mit dem Parameter -f 1 ist zu jedem Pa 
rallelkomplex mit dem Parameter — 1 in Involution. 
Enthält ein. linearer Komplex ein linksgewundenes Parallelennetz, so ist 
er ein Parallelkomplex mit oo 1 solchen Netzen. Ich kann nämlich, wie 
oben, beweisen, daß je zwei nullpolare Strahlen rechtsparallel sind; da. 
1) Coolidge a. a. 0. p. 21.